相似形中的開放性問題

1、圖1ABCDEDEFABC圖2AD圖3EBCFG圖5ABC相似形中的開放性問題相似形中的開放性問題河北溫志勝開放性問題可以鍛煉學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，更是近年來中考中比較常見的題型，下面針對(duì)相似形中的開放性問題進(jìn)行說明。一、條件開放性一、條件開放性例題、如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△ABC與△AED相似。分析：在△ADE與△ABC中，有一個(gè)公共角∠A，根據(jù)三角形相似的條件，要使△ADE∽

2、△ABC，可以有兩種添加方法：一是利用“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”來判斷，只需要再找到另外一對(duì)角相等即可；二是利用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”來判斷，只需要∠A的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。解：只需添加條件：①∠B＝∠AED；②∠C＝∠ADE；③等。ACADABAE?練習(xí)：如圖2所示，△ABC中，AB＝AC，△DEF中，DE＝DF，要使△ABC∽△DEF，還需要增加的一個(gè)條件是什么？（寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)即可，不必考慮所有可

3、能情況）。二、結(jié)論二、結(jié)論開放性開放性例題、將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖3的樣子，假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，那么圖形中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有，把它們都寫出來。分析：因?yàn)榈妊苯侨前宓膬蓚€(gè)銳角都等于45，所以∠EAD＝∠B＝45，∠DAE＝∠C＝45，利用這些已知角可以找出相似三角形。解：∵∠EAD＝∠B＝45，∠AED＝∠BEA，∴△ADE∽△BAE?！摺螪AE＝∠C＝45，∠ADE＝∠CDA，∴△

4、ADE∽△CDA?！唷螪EA＝∠DAC?！唷螧EA＝∠DAC?！摺螧＝∠C＝45，∴△BAE∽△CDA。即△ADE∽△BAE∽△CDA。練習(xí)：如圖4所示，在△ABC中，AD、CE是兩條高，連結(jié)DE。如果BE=2，EA=3，CE=4，在不添加任何輔助線和字母的條件下，寫出正確的結(jié)論（要求：分別為邊的關(guān)系、角的關(guān)系、三角形相似等等），并對(duì)其中一個(gè)結(jié)論給于說明。三、網(wǎng)格中的相似三角形三、網(wǎng)格中的相似三角形例題、如圖5，44的正方形方格中，△A

5、BC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上。請(qǐng)?jiān)趫D中畫一個(gè)△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相EDCBA圖4A1CBAB1C1A2B2C2圖6似比不為1），且點(diǎn)A1、B1、C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上。分析：可以先求出△ABC的三邊的長，根據(jù)“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似”的判斷條件，設(shè)定一個(gè)相應(yīng)的相似比，再求出△A1B1C1的三邊的長，再畫出△A1B1C1。解：在△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝。210設(shè)相似比為或。222可

6、得所求三角形的邊長分別為1、、或者2、、2522。52所以可以構(gòu)造出不同的符合條件的三角形。如圖6中的△A1B1C1和△A2B2C2。說明：當(dāng)相似比確定后，△A1B1C1的形狀就確定了，但△A1B1C1可以有多個(gè)不同的位置。而設(shè)定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形。另外，本題可以利用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似”的判斷條件來畫圖，從題目條件可知∠ABC＝135，所以只需把AB、BC的長求出，然后再設(shè)相似比即可求解。圖5