[學(xué)習(xí)]斐波那契數(shù)列與黃金分割

1、1． 跳格游戲,,,如圖，一個(gè)人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上跳，從格外只能進(jìn)入第1格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問(wèn)：可以用多少種方法，跳到第n格？ 解：設(shè)跳到第n格的方法有 種。 由于他跳入第1格，只有一種方法；跳入第2格，必須先跳入第1格，所以也只有一種方法，從而,而能一次跳入第n格的，只有第 和第 兩格，因此，跳入第 格的方法 數(shù)，是跳入第

2、 格的方法數(shù) ，加上跳入 第 格的方法數(shù) 之和。 即 。綜合得遞推公式 容易算出，跳格數(shù)列 就是斐波那契數(shù)列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，…,,,,,,,,,,三、 黃金分割,1． 定義：把任一線段分割成兩段，使

3、 ，這樣的分割叫黃金分割，這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個(gè)分割點(diǎn)） 1,,2． 求黃金比 解：設(shè)黃金比為 ，不妨設(shè)全段長(zhǎng)為 1，則大段= ，小段= 。 故有 ， 解得 ，其正根為 A

4、 B,,,,,,,,3． 黃金分割的尺規(guī)作圖 設(shè)線段為 。作 ，且 ，連 。作 交 于 ，再作 交 于 ，則 ， 即為 的黃金分割點(diǎn)。,,,,,,,,,,,,,,證：不妨令

5、 ，則 ， ， ， 證完。,,,,,,四、

6、優(yōu)選法,1． 華羅庚的優(yōu)選法（“0.618法”） 二十世紀(jì)六十年代，華羅庚創(chuàng)造了并證明了優(yōu)選法，還用很大的精力去推廣優(yōu)選法。 “優(yōu)選法”，即對(duì)某類單因素問(wèn)題，用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到“最佳點(diǎn)”的方法。,例如，煉鋼時(shí)要摻入某種化學(xué)元素加大鋼 的強(qiáng)度，摻入多少最合適？假定已經(jīng)知道每噸鋼加入該化學(xué)元素的數(shù)量大約應(yīng)在1000克到2000克之間，現(xiàn)求最佳加入量，誤差不得超過(guò)1克。最“笨”的方法是分別加入100克，

7、1002克，…，1000克，做1千次試驗(yàn)，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。,一種動(dòng)腦筋的辦法是二分法，取1000克2000克的中點(diǎn)1500克。再取進(jìn)一步二分法的中點(diǎn)1250克與1750克，分別做兩次試驗(yàn)。如果1750克處效果較差，就刪去1750克到2000克的一段，如果1250克處效果較差，就刪去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中點(diǎn)做試驗(yàn)，比較效果決定下一次的取舍，這種“二分法”會(huì)不斷接近最好點(diǎn)，而且所用的試驗(yàn)次數(shù)與上法相比，大大減少

8、。,表面上看來(lái)，似乎這就是最好的方法。但華羅庚證明了，每次取中點(diǎn)的試驗(yàn)方法并不是最好的方法；每次取試驗(yàn)區(qū)間的0.618處去做試驗(yàn)的方法，才是最好的，稱之為“優(yōu)選法”或“0.618法”。 華羅庚證明了，這可以用較少的試驗(yàn)次數(shù)，較快地逼近最佳方案。,3） 股票指數(shù)增減的“波浪理論” ① 完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數(shù)； ② 每次股指增長(zhǎng)幅度（8，13等）

9、或回調(diào)幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數(shù)。 股指變化有無(wú)規(guī)律？回答是肯定的。,1934年美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過(guò)大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認(rèn)為：股指波動(dòng)的一個(gè)完整過(guò)程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個(gè)波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無(wú)論從小波還是從大波波形上看，均如此。 注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數(shù)

10、列中的數(shù)。,同時(shí)，每次股指的增長(zhǎng)幅度常循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成。比如：如果某日股指上升8點(diǎn)，則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)在5點(diǎn)左右。顯然，5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三項(xiàng)。,2） 用斐波那契數(shù)列及其推廣變魔術(shù),① 讓觀眾從你寫(xiě)出的斐波那契數(shù)列中任意選定連續(xù)的十個(gè)數(shù)，你能很快說(shuō)出這些數(shù)的和。 其實(shí)有公式：這個(gè)和，就是所選出的十個(gè)數(shù)中第七個(gè)數(shù)的11倍。,1 1 2 3 5