2007年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一、二試試題及答案

1、2007年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試卷（考試時間：上午8：00—9：40）一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，∠APC=60，則二面角A?PB?C的平面角的余弦值為（）A.B.C.D.7171?2121?2.設實數(shù)a使得不等式|2x?a||3x?2a|≥a2對任意實數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是（）A.B.C.D.[?3，3]]3131[?]2121[?]3141[?3.將號碼分別為1、

2、2、…、9的九個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同。甲從袋中摸出一個球，其號碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個球，其號碼為b。則使不等式a?2b100成立的事件發(fā)生的概率等于（）A.B.C.D.81528159816081614.設函數(shù)f(x)=3sinx2cosx1。若實數(shù)a、b、c使得af(x)bf(x?c)=1對任意實數(shù)x恒成立，則的值等于（）acbcosA.B.C.?1D.121?215.設圓O1和圓O2是兩個

3、定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心軌跡不可能是（）6.已知A與B是集合1，2，3，…，100的兩個子集，滿足：A與B的元素個數(shù)相同，且為A∩B空集。若n∈A時總有2n2∈B，則集合A∪B的元素個數(shù)最多為（）A.62B.66C.68D.74二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7.在平面直角坐標系內(nèi)，有四個定點A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一個動點P，則|PA||PB||PC||PD|的最小值為

4、__________。8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=1，BC=6，，若，則與的夾角的余弦值等于________。33?CA2????AFACAEABEFBC9.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，以頂點A為球心，為半徑作一個球，則332球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長等于__________。10.已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)。若a1=d，b1=d2，

5、且是正整數(shù)，則q等于________。321232221bbbaaa????11.已知函數(shù)，則f(x)的最小值)4541(2)cos()sin()(?????xxπxπxxf為________。12.將2個a和2個b共4個字母填在如圖所示的16個小方格內(nèi)，每個小方格內(nèi)至多填1個字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法共有________種（用數(shù)字作答）。DABCPA.B.C.D.8152815981608161解：甲、乙二人每人

6、摸出一個小球都有9種不同的結果，故基本事件總數(shù)為92=81個。由不等式a?2b100得2ba10，于是，當b=1、2、3、4、5時，每種情形a可取1、2、…、9中每一個值，使不等式成立，則共有95=45種；當b=6時，a可取3、4、…、9中每一個值，有7種；當b=7時，a可取5、6、7、8、9中每一個值，有5種；當b=8時，a可取7、8、9中每一個值，有3種；當b=9時，a只能取9，有1種。于是，所求事件的概率為。81618113574

7、5?????4.設函數(shù)f(x)=3sinx2cosx1。若實數(shù)a、b、c使得af(x)bf(x?c)=1對任意實數(shù)x恒成立，則的值等于（C）acbcosA.B.C.?1D.121?21解：令c=π，則對任意的x∈R，都有f(x)f(x?c)=2，于是取，c=π，則對任意的21??bax∈R，af(x)bf(x?c)=1，由此得。1cos??acb一般地，由題設可得，，其中1)sin(13)(????xxf1)sin(13)(?????c

8、xcxf?且，于是af(x)bf(x?c)=1可化為20π???32tan??，即1)sin(13)sin(13???????bacxbxa??，所以0)1()cos(sin13cos)sin(13)sin(13?????????baxcbcxbxa???。0)1()cos(sin13)sin()cos(13????????baxcbxcba??由已知條件，上式對任意x∈R恒成立，故必有，???????????)3(01)2(0sin)

9、1(0cosbacbcba若b=0，則由(1)知a=0，顯然不滿足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kππ或c=2kπ(k∈Z)。當c=2kπ時，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2kππ(k∈Z)，cosc=?1。由(1)、(3)知，所以。21??ba1cos??acb5.設圓O1和圓O2是兩個定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心軌跡不可能是（A）解：設圓O1和圓O2的半徑分別是r1、r2，

10、|O1O2|=2c，則一般地，圓P的圓心軌跡是焦點為O1、O2，且離心率分別是和的圓錐曲線（當r1=r2時，O1O2的中垂線是212rrc?||221rrc?軌跡的一部份，當c=0時，軌跡是兩個同心圓）。當r1=r2且r1r22c時，圓P的圓心軌跡如選項B；當02c|r1?r2|時，圓P的圓心軌跡如選項C；當r1≠r2且r1r22c時，圓P的圓心軌跡如選項D。由于選項A中的橢圓和雙曲線的焦點不重合，因此圓P的圓心軌跡不可能是選項A。6.