微積分入門

1、序中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代（公元前7世紀(jì)），我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，即老莊哲學(xué)中所有的無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。這是樸素的、也是很典型的極限概念。而極限理論便是微分學(xué)的基礎(chǔ)。古希臘時(shí)期（公元前3世紀(jì)），阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來窮盡圓周長(zhǎng)，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填

2、充拋物線的圖形，以求得其面積。這是窮盡法的古典例子之一，可以說是積分思想的起源。17世紀(jì)，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這

3、只是十分初步的工作。19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個(gè)沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識(shí)到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。外爾斯特拉斯最終完

4、成了對(duì)實(shí)數(shù)系更深刻的性質(zhì)的理解，使得數(shù)學(xué)分析完全由實(shí)數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺理解和幾何直觀。人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著，人類認(rèn)識(shí)微積分的水平在不斷深化?！⒎e分學(xué)(Calculus拉丁語意為用來計(jì)數(shù)的小石頭)是研究極限、微分學(xué)、積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，并成為了現(xiàn)代大學(xué)教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經(jīng)指無窮小的計(jì)算。更本質(zhì)的講，微積分學(xué)是一門研究變化的科學(xué)，正如幾何學(xué)是研究空間的科學(xué)一樣。微

5、積分的主要內(nèi)容及其他微積分的主要內(nèi)容及其他研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分定積分、不

6、定積分等。微積分是與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的。最初，牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對(duì)第谷浩瀚的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析運(yùn)算，得到了萬有引力定律，并進(jìn)一步導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)成了推動(dòng)近代數(shù)學(xué)發(fā)展強(qiáng)大的引擎，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。微積分主要有三大類分支：極限、

7、微分學(xué)、積分學(xué)。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運(yùn)算。牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理以后才引起了其他學(xué)者對(duì)于微積分學(xué)的狂熱的研究。這個(gè)發(fā)現(xiàn)使我們?cè)谖⒎趾头e分之間互相轉(zhuǎn)換。這個(gè)基本理論也提供了一個(gè)用代數(shù)計(jì)算許多積分問題的方法，該方法并不真正進(jìn)行極限運(yùn)算而是通過發(fā)現(xiàn)不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數(shù)的積分。微分問題在科學(xué)領(lǐng)域無處不在。微積分的基本概念還包括函數(shù)、無窮序列、無窮級(jí)數(shù)和連續(xù)等，運(yùn)算方法主要有符號(hào)運(yùn)算技巧