微積分計算體積

1、旋轉(zhuǎn)體的體積為,,,所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積為,例1,求橢圓,所圍成的平面圖形分別繞 x 軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積,類似地，由連續(xù)曲線,①這個旋轉(zhuǎn)體可以看成是由半個橢圓,及 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體,②與上同理,橢球體也可以看成由半個橢圓,及 y 軸圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體,解,特別當(dāng) a = b 時,旋

2、轉(zhuǎn)體成為球體,解,解,例4,證明由平面圖形,（f ( x ) 連續(xù)）,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積為,對應(yīng)的部分量,可近似看成內(nèi)徑為 x ，外徑為 x + dx 高為 f ( x ) 的薄壁圓筒,故,證,或展開后近似于長為 寬為 dx 高為 f(x) 的薄長方體,利用這個公式，可知上例中,,解,體積元素為,,,,求圓心在 ( b ,0 ) 半徑為 a

3、( 0< a < b ) 的圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的環(huán)狀體的體積,解,圓的方程,例6,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),dV = 薄片圓柱的體積（底半徑為 f(x) ，高為dx ）,——柱片法,繞 y 軸旋轉(zhuǎn),dV = 薄壁圓筒的體積（內(nèi)徑為 x ，外徑為x+dx高為f ( x )),——柱殼法,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積為,一 般地

4、,如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,,,二、平行截面面積為已知的立體的體積,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,已知點A（1,0,1), B(0,1,0) ，線段AB繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由S和兩平面 z = 0,z = 1所圍立體的體積,解,AB 的方程為,在 z 軸上截距為 z 的水平面截此旋