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1、第一章第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界,K1為下界;如果有f(x)≤K2,則有上界,K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列xn不能同時收斂于兩個不同的極限。定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列xn收斂,那么數(shù)列xn一定有界。如果數(shù)列xn無界,那么數(shù)列xn一定發(fā)散;但如果數(shù)列xn有界,卻不能斷定
2、數(shù)列xn一定收斂,例如數(shù)列1,1,1,1,(1)n1…該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列xn收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列xn有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列xn是發(fā)散的,如數(shù)列1,1,1,1,(1)n1…中子數(shù)列x2k1收斂于1,xnk收斂于1,xn卻是發(fā)散的;同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中00
3、(或A0(或f(x)0),反之也成立。函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x00)=f(x00),若不相等則limf(x)不存在。一般的說,如果lim(x→∞)f(x)=c,則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞,則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。4、極限運(yùn)算法則定理有限個無窮小之和也是無窮??;有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。怀?shù)
4、與無窮小的乘積是無窮??;有限個無窮小的乘積也是無窮小;定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.5、極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限lim(x→0)(sinxx)=1;lim(x→∞)(11x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列xn、yn、zn滿足下列條件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點
5、x0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時的極限存在,且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。不連續(xù)情形:1、在點x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在,但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點,但左
6、極限及右極限都存在,則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點,不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應(yīng)的區(qū)間Iy=y|y=f(x),x∈Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)
7、的。定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點,那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(即f(a)f(b)函數(shù)在該點處連續(xù);函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)≠在該點可導(dǎo)。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)
8、的必要條件而不是充分條件。3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo),且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=函數(shù)在該點處可導(dǎo);函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導(dǎo)。第三章第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等,分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂,則定義∫abf(x)dx=
9、∫acf(x)dx∫cbf(x)dx,否則(只要其中一個發(fā)散)就稱廣義積分∫abf(x)dx發(fā)散。第六章第六章定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))極坐標(biāo)系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ2)旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲線的方程)平行截面面積為已知的立體體積
10、(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)功、水壓力、引力函數(shù)的平均值(平均值y=1(ba)∫abf(x)dx)第七章第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時,函數(shù)都無限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0,y0)時,即使函數(shù)無限接近某一確定值,我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來,如果當(dāng)
11、P(x,y)以不同方式趨于P0(x0,y0)時,函數(shù)趨于不同的值,那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù):f(x,y)=0(xy)(x^2y^2)x^2y^2≠02、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義,P0(x0,y0)是D的內(nèi)點或邊界點且P0∈D,如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)則稱f(x,y)在點P0(x0,y0)連續(xù)。性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多
12、元連續(xù)函數(shù),在D上一定有最大值和最小值。性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點具有導(dǎo)數(shù),則它在該點必定連續(xù),但對于多元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時,函數(shù)值f(P)趨于f(P0),但不能保證點P按任何方式趨于P0
13、時,函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件,但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件,即可微=可偏導(dǎo)。5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(x,y)連續(xù),則函數(shù)在該點可微分。6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(x0,y0)處有極
14、值,則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必為零。定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,則f(x,y)在點(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:(1)ACB20時具有極值,且當(dāng)A0時有極小值;(2)ACB20時沒有極值;(3)ACB2=0時可能有也可能沒有。7、多元
15、函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求的一切實數(shù)解,即可求得一切駐點。(2)對于每一個駐點(x0,y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出ACB2的符號,按充分條件進(jìn)行判定f(x0,y0)是否是極大值、極小值。注意:在考慮函數(shù)的極值問題時,除了考慮函數(shù)的駐點外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點,那么對這些點也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。第八章第八章二重積分二重積分1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=∫∫
16、√[1f2x(x,y)f2y(x,y)]dσ)平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(biāo)(x=1A∫∫xdσ,y=1A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量(Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ;其中ρ(x,y)為在點(x,y)處的密度。平面薄片對質(zhì)點的引力(FxFyFz)2、二重積分存在的條件當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時,極限存在,故函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分必定存在。3、二重積分的
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