微積分專業(yè)學(xué)習(xí)進(jìn)步進(jìn)修學(xué)習(xí)進(jìn)步基礎(chǔ)入門

1、_微積分入門微積分入門一.微商（導(dǎo)數(shù)）1.用來分析變化的工具2.斜率=dydx3.極限：一個值無限接近另一個值的狀態(tài)。表示：lim(x→0)f(x)=b4.正向接近（∞）與負(fù)向接近（∞）。當(dāng)從兩側(cè)接近的結(jié)果不同時，不存在極限5.極限的模式：?lim(x→a)f(x)不存在（如lim(x→a)1x)?lim(x→a)f(x)存在，但不是f(a)(如lim(x→1)（x^23x2)(x1))?lim(x→a)f(x)存在，是f(a).6.求

2、導(dǎo)公式：lim(h→0)(f(xh)f(x))h二導(dǎo)函數(shù)1對f(x)求導(dǎo)得到的導(dǎo)函數(shù)也是函數(shù)。f’(x)=lim(h→0)(f(xh)f(x))h=lim(dx→0)dydx2.導(dǎo)數(shù)表示的兩種方式:A.如上B.(萊布尼茨法）dydxdf(x)dxF’’(x)=(ddx)(ddx)y3.求導(dǎo)基本公式：?p=Cp’=0(p為常數(shù)）?(px)’=p?f(x)g(x)’=f’(x)g’(x)4.常用求導(dǎo)公式：?（x^n)’=lim(h→0)((

3、xh)^nx^n)h=nx^(n1)?f(x)g(x)’=f’(x)g(x)f(x)g’(x)?y=sinxy’=cosxy=cosxy’=sinx④y=e^xy’=e^xy=Lnxy’=1x⑤f(x)g(x)’=(f‘(x)g(x)f(x）g’(x))g^2(x)5.y=f(x)的一階微商f’(x)=dydx=lim(dx→0)(f(xdx)f(x))dx二階微商f’’(x)=df‘(x)dxd^2ydx^2?n階微商（x)=d(x)

4、dx=d^nydx^n)(nf)1(?nf=dxdt==ddt==d^2xdt^2=xv?xxaxv?v??x三求導(dǎo)規(guī)則和公式1.函數(shù)y=(x)是y=f(x)的反函數(shù)，由x和y的互反關(guān)系，易得1?fd(x)dx=dydf(y）=1（df(y）dy)=1f‘(y)1?f2.如果y=f(u)u=g(x），則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)為dydx=(dydu)(dudx)=f‘(u)g’(x)3.如果y與x的函數(shù)關(guān)系由參數(shù)方程y=y(t)

5、x=x(t)給出，則有：dydx=(dydt)(dxdt)=?y?x4.對于兩個函數(shù)u(x)v(x)的和與差的導(dǎo)數(shù)，則由d(u&v)=du&dv得的d[u(x)&v(x)]dx=du(x)d(x)&dv(x)d(x)5.對于兩個函數(shù)u(x)v(x)的積的導(dǎo)數(shù)，則由d(uv)=(udu)(vdv)uv=udvvdu得d[u(x)v(x)]dx=u(x)dv(x)dxv(x)dx=u(x)v‘(x)v(x)u‘(x)四導(dǎo)函數(shù)的基本性質(zhì)1.[

6、af(x)]‘=af‘(x)2.[f(x)g(x)]’=f‘(x)g’(x)1&2[af(x)bg(x)]’=af‘(x)bg‘(x)(ab為常數(shù)）?3.[f(x)g(x)]‘=f‘(x)g(x)f(x)g’(x)_例1圖例2：判斷曲線凹凸的方法→求二次微分f’’(x)的正負(fù)下凸→切線斜率增大→f‘(x)為增函數(shù)→f‘’(x)0上凸→切線斜率減小→f‘(x)為減函數(shù)→f‘’(x)0凹凸性增減表（f(x)=x^33xf‘(x)=3x^23

7、)x...1...0...1...f’(x)00f‘’(x)0f(x)↑2↓0↓2↑增加上凸減小上凸減小下凸增加下凸例2圖由上凸→下凸拐點(diǎn)坐標(biāo)（00）拐點(diǎn)處切線:y=3xf(x)=ax^3bx^2cxdf’(x)=3ax^22bxc七積分（面積）與導(dǎo)數(shù)（斜率）的關(guān)系1.積分是導(dǎo)數(shù)的逆向運(yùn)算，即f(x)=(ddx)(關(guān)于t求f(t)積分）?xdttf0)(導(dǎo)數(shù)(x^n)’=積分（)’=nx^(n1)為積分符號（Summation合計)?2

8、.對f(x)求不定積分得到的函數(shù)為原函數(shù)，如=(13)x^3C(C為積分常數(shù)）?dxx2求導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)算式）初始條件（信息）基礎(chǔ)函數(shù)（原函數(shù)）?3.??????????)()()()()()(xbGxaFdxxgbdxxfadxxbgxaf證明：設(shè)F’(x)=f(x)G’(x)=g(x)[aF(x)bG(x)]’=aF’(x)bG’(x)=af(x)bg(x)???????????)()()()()()(xbGxaFdxxgbdxxfa