小學(xué)奧數(shù)之牛吃草問(wèn)題含答案

1、“牛吃草問(wèn)題就是追及問(wèn)題，牛吃草問(wèn)題就是工程問(wèn)題。牛吃草問(wèn)題就是追及問(wèn)題，牛吃草問(wèn)題就是工程問(wèn)題?！庇?guó)大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這英國(guó)大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給片青草供給1010頭牛吃，可以吃頭牛吃，可以吃2222天，或者供給天，或者供給1616頭牛吃，可以吃頭牛吃，可以吃1010天，如果供給天，如果供給2525頭牛吃，可以吃幾天？

2、牛吃，可以吃幾天？解題關(guān)鍵：牛頓問(wèn)題，俗稱“牛吃草問(wèn)題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長(zhǎng)。解題環(huán)節(jié)主要有四步：1、求出每天長(zhǎng)草量；2、求出牧場(chǎng)原有草量；3、求出每天實(shí)際消耗原有草量4、最后求出可吃天數(shù)想：這片草地天天以同樣的速度生長(zhǎng)是分析問(wèn)題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10221610=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（2210）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這

3、個(gè)條件，把25頭牛分成兩部分來(lái)研究，用5頭吃掉新長(zhǎng)出的草，用20頭吃掉原有的草，即可求出25頭牛吃的天數(shù)。解：新長(zhǎng)出的草供幾頭牛吃1天：（1022161O）(221O）=（220160）12=6012=5（頭）這片草供25頭牛吃的天數(shù)：（105）22（255）=52220=5.5（天）答：供25頭?？梢猿?.5天。“一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡(jiǎn)單了，一下就可求出：3106＝5（天）。如果我們把“一堆草”

4、換成“一片正在生長(zhǎng)的草地”，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）這類工作總量不固定（均勻變化）的問(wèn)題就是牛吃草問(wèn)題。的問(wèn)題就是牛吃草問(wèn)題。例1牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供1010頭牛吃頭牛吃2020天，或者可供天，或者可供1515頭牛吃頭牛吃1010天。問(wèn)：可供天。問(wèn)：可供2525頭牛吃幾天？頭牛吃幾天？分析與解：這

5、類題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量。總草量可以分為牧場(chǎng)上原有的草和新生長(zhǎng)出來(lái)的草兩部分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩個(gè)不變量。設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是

6、200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加10天新長(zhǎng)出的草。200－150＝50（份），20—10＝10（天），說(shuō)明牧場(chǎng)10天長(zhǎng)草50份，1天長(zhǎng)草5份。也就是說(shuō)，5頭牛專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草剛好吃分析：雖然表面上沒(méi)有“牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓八毕喈?dāng)于“草”進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以也是牛吃草問(wèn)題，解法自然也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩部分：

7、一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊?，所以可以從比較兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問(wèn)題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個(gè)出水管8分鐘所排的水是28＝16（份），3個(gè)出水管5分鐘所排的水是35＝15（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在85=3（分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是(1615)3=13(

8、份)假設(shè)讓13個(gè)出水管專門排進(jìn)水管新進(jìn)得水兩相抵消其余得出水管排原有得水可以求出原有水得水量為:(213)8=403(份)或(313)5=403(份)解:設(shè)出水管每分鐘排出得水為1份每分鐘進(jìn)水量(2835)(85)=13(份)進(jìn)水管提前開了(213)813=40(分)答：出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘。例5一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管，當(dāng)打開一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)

9、水管，當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)需要個(gè)進(jìn)水管時(shí)需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在需要在現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？分析本題沒(méi)給出排水管的排水速度，因此必須找出排水管與進(jìn)水管之間的數(shù)量關(guān)系，才能確定至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管.解：本題是具有實(shí)際意義的工程問(wèn)題，因沒(méi)給出注水速度和排

10、水速度，故需引入?yún)?shù).設(shè)每個(gè)進(jìn)水管1小時(shí)注水量為a，排水管1小時(shí)排水量為b，根據(jù)水池的容量不變，我們得方程（4ab）5=（2ab）15，化簡(jiǎn)，得：4ab=6a3b，即a=b.這就是說(shuō)，每個(gè)進(jìn)水管1小時(shí)的注水量等于排水管1小時(shí)的排水量.再設(shè)2小時(shí)注滿水池需要打開x個(gè)進(jìn)水管，根據(jù)水池的容量列方程，得（xaa）2＝（2aa）15，化簡(jiǎn)，得2ax2a=15a，即2xa=17a.（a≠0）所以x=8.5因此至少要打開9個(gè)進(jìn)水管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水