小學(xué)奧數(shù)之排列組合問(wèn)題.

1、第1頁(yè)計(jì)數(shù)問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生正確理解排列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問(wèn)題；2.了解排列、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的排列或組合；3.掌握排列組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會(huì)、分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，以及與其他專(zhuān)題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過(guò)本講的學(xué)習(xí)，對(duì)排列組合的一些計(jì)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等

2、。5.根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)撥：例題精講：一、排列組合的應(yīng)用【例1】小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個(gè)人排成一排；）七個(gè)人排成一排；（2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個(gè)人排成一

3、排，小新、阿呆必須都站在兩邊）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒(méi)有站在邊上）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒(méi)有站在邊上.（6）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。小新、阿呆不在同一排?！窘馕觥浚?）（種）。775040P?（2）只需排其余6個(gè)人站剩下的6個(gè)位置（

4、種）.66720P?（3）先確定中間的位置站誰(shuí)，冉排剩下的6個(gè)位置2=1440(種)66P（4）先排兩邊，再排剩下的5個(gè)位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置(種)552240P??（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個(gè)人中選2人，再排剩下的5個(gè)人，（種）.25552400PP??（6）七個(gè)人排成一排時(shí)，7個(gè)位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7個(gè)位置還是各不相同的，所以本題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)元素的全排列（種）.7750

5、40P?（7）可以分為兩類(lèi)情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可432=2880(種)排隊(duì)問(wèn)題，一般先考慮特55P殊情況再去全排列?！纠?】用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？的三位數(shù)？【解析解析】個(gè)位數(shù)字已知，問(wèn)題變成從從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列問(wèn)題，已知，，根據(jù)排列數(shù)公525n?2m?式，一共

6、可以組成(個(gè))符合題意的三位數(shù)。255420P???【鞏固鞏固】用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比大且百位數(shù)字不是大且百位數(shù)字不是的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？200003【解析】可以分兩類(lèi)來(lái)看：⑴把3排在最高位上，其余4個(gè)數(shù)可以任意放到其余4個(gè)數(shù)位上，是4個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有(種)放法，對(duì)應(yīng)24個(gè)不同的五位數(shù)；44432124P?????⑵把2，4，5放在最高位上，有3種選擇，百位上有

7、除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個(gè)數(shù)字可以第3頁(yè)(種)選法同理，第，，，個(gè)位置依次有，，，種選法由乘法原理，不同的坐133C?34562211法有(種)。11111163221163221172PPPPPP????????????【例6】一種電子表在一種電子表在6時(shí)24分30秒時(shí)的顯示為秒時(shí)的顯示為6:24：30，那么從，那么從8時(shí)到時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)字都不相同的時(shí)刻一共

8、有多少個(gè)【解析】設(shè)A:BC是滿足題意的時(shí)刻，有A為8，B、D應(yīng)從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同DE的數(shù)字，所以有種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有種選法，26P27P所以共有=1260種選法。26P27P從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有1260個(gè)?！纠?】一個(gè)六位數(shù)能被一個(gè)六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個(gè)六位數(shù)的整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的

9、將這個(gè)六位數(shù)的6個(gè)數(shù)字重新排列，最個(gè)數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個(gè)能被少還能排出多少個(gè)能被11整除的六位數(shù)整除的六位數(shù)【解析】設(shè)這個(gè)六位數(shù)為，則有、的差為0或11的倍數(shù)且a、b、c、d、e、fabcdef()ace??()bdf??均不為0，任何一個(gè)數(shù)作為首位都是一個(gè)六位數(shù)。先考慮a、c、e偶數(shù)位內(nèi)，b、d、f奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有=36種順序；33P33P再考慮形如這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有=36種順序。badcfe33P3

10、3P所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出3636=72個(gè)能被11整除的數(shù)(包含原來(lái)的)。abcdef所以最少還能排出721=71個(gè)能被11整除的六位數(shù)。【例8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、乙兩名參賽者去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：乙兩名參賽者去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未

11、拿到冠軍很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”對(duì)乙說(shuō)：對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不你當(dāng)然不會(huì)是最差的會(huì)是最差的”從這個(gè)回答分析，從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】這道題乍一看不太像是排列問(wèn)題，這就需要靈活地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價(jià)于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的5排法數(shù)，因?yàn)橐业南拗谱疃?，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有種

12、排法，剩下的人隨意排，有33(種)排法由乘法原理，一共有(種)不同的排法。333216P????33654???【例9】名男生，名男生，名女生，全體排成一行，問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法：名女生，全體排成一行，問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法：45⑴甲不在中間也不在兩端；甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；男、女生分別排在一起；⑷男女相間男女相間【解析解析】⑴先排甲，個(gè)位置除了

13、中間和兩端之外的個(gè)位置都可以，有種選擇，剩下的個(gè)人隨9668意排，也就是個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有(種)選擇由乘法原8888765432140320P?????????理，共有(種)排法640320241920??⑵甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個(gè)人隨意排，有22212P???7(種)排法由乘法原理，共有(種)排法7776543215040P????????2504010080??⑶分別把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有(種)不同排列方

14、法，再分別對(duì)男生、女22212P???生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是個(gè)元素與個(gè)元素的全排列問(wèn)題，分別有45(種)和(種)排法44432124P?????5554321120P??????由乘法原理，共有(種)排法2241205760???⑷先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個(gè)空檔中，有444432124P?????55(種)排法由乘法原理，一共有(種)排法。5554321120P??????241202880??【鞏固鞏固】五位同學(xué)扮成奧