特征根公式證明與應(yīng)用1

1、特征根求解通特征根求解通項(xiàng)公式第公式第1頁(yè)共5頁(yè)特征方程法求解特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的線性遞推問(wèn)題考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的線性遞推問(wèn)題.設(shè)已知數(shù)列設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足的項(xiàng)滿足，其中，其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.na11nnabacad???????10??cc采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問(wèn)題，然而這樣做太過(guò)繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問(wèn)題，然而這樣做太過(guò)繁瑣，

2、而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對(duì)問(wèn)題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方特征方程法：針對(duì)問(wèn)題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程稱之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解通項(xiàng)公式稱之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解通項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)下面以定理形式進(jìn)dcxx??行闡述行闡述.定理定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)，則當(dāng)

3、時(shí)，時(shí)，為常數(shù)列，即為常數(shù)列，即0x10ax?na，其中，其中是以是以為公比的等比數(shù)列，即為公比的等比數(shù)列，即0101xbaaxaannn????時(shí)當(dāng)nbc.01111xabcbbnn????證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰糜商卣鞣匠痰米鲹Q元作換元10?c.10cdx??0xabnn??則.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab??????????????當(dāng)時(shí)，時(shí)，，數(shù)列，數(shù)列是以是以為公比的等比數(shù)列，故為公比

4、的等比數(shù)列，故10ax?01?bnbc11??nncbb當(dāng)時(shí)，時(shí)，，為0數(shù)列，故數(shù)列，故（證畢）（證畢）10ax?01?bnb.N1??naan下面列舉兩例，說(shuō)明定理下面列舉兩例，說(shuō)明定理1的應(yīng)用的應(yīng)用.例1已知數(shù)列已知數(shù)列滿足：滿足：求na4N23111??????anaann.na解：作方程解：作方程.232310?????xxx則當(dāng)時(shí)，時(shí)，數(shù)列數(shù)列是以是以為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列.于是于是41?a.211231101???

5、?abxanb31?.N)31(2112323)31(211)31(1111???????????????nbabbnnnnnn例2已知數(shù)列已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：滿足遞推關(guān)系：其中其中為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位.naN)32(1????niaanni當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？是常數(shù)數(shù)列？1ana解：作方程解：作方程則)32(ixx??.5360ix???要使要使為常數(shù)，即則必須為常數(shù)，即則必須na.53601ixa????現(xiàn)在

6、考慮一個(gè)分式遞推問(wèn)題（現(xiàn)在考慮一個(gè)分式遞推問(wèn)題（）.例3已知數(shù)列已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.na324N1?????nnnaaan31?ana將這問(wèn)題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果將這問(wèn)題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果.特征根求解通特征根求解通項(xiàng)公式第公式第3頁(yè)共5頁(yè)由是方程是方程的兩個(gè)相同的根可以求得的兩個(gè)相同的根可以求得?hrxqpxx???.2rhp???∴122?????????

7、??hpphrrhpprrhphrprh??將此式代入將此式代入④式得式得.N111?????nrprddnn?令則故數(shù)列故數(shù)列是以是以為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列..N1??ndbnn.N1?????nrprbbnn?nbrpr??∴.N)1(1??????nrprnbbn?其中其中.11111????adb當(dāng)時(shí)，時(shí)，0N??nbn.N1?????nbdannn??當(dāng)存在當(dāng)存在使時(shí)，時(shí)，無(wú)意義無(wú)意義.故此時(shí)，無(wú)窮數(shù)列故此時(shí)，無(wú)窮數(shù)

8、列是不存在的是不存在的.N0?n00?nb??????0001nnnbdana再證明定理的第（再證明定理的第（2）部分如下：）部分如下：∵特征方程有兩個(gè)相異的根特征方程有兩個(gè)相異的根、，∴其中必有一個(gè)特征根不等于其中必有一個(gè)特征根不等于，不妨令，不妨令于是于是1?2?1a.12a??可作變換可作變換.N21????naacnnn??故，將，將代入再整理得代入再整理得21111????????nnnaachraqpaannn????1⑤N

9、)()(22111?????????nhqrpahqrpacnnn????由第（由第（1）部分的證明過(guò)程知）部分的證明過(guò)程知不是特征方程的根，故不是特征方程的根，故rpx?.21rprp????故所以由所以由⑤式可得：式可得：.0021????rprp??⑥N2211211????????????nrphqarphqarprpcnnn??????∵特征方程特征方程有兩個(gè)相異根有兩個(gè)相異根、方程方程有兩個(gè)相異根有兩個(gè)相異根、hrxqpxx