反三角函數求導公式證明

1、2.32.3反函數的導數，復合函數的求導法則反函數的導數，復合函數的求導法則一、反函數的導數一、反函數的導數設)(yx??是直接函數，)(xfy?是它的反函數，假定)(yx??在Iy內單調、可導，而且0)(??y?，則反函數)(xfy?在間)(|yxIyyxxI????內也是單調、可導的，而且)(1)(yxf????(1)證明：證明：??xIx，給x以增量x?)0(xIxxx?????由)(xfy?在Ix上的單調性可知0)()(????

2、??xfxxfy于是yxxy?????1因直接函數)(yx??在Iy上單調、可導，故它是連續(xù)的，且反函數)(xfy?在Ix上也是連續(xù)的，當0??x時，必有0??y)(11limlim00yyxxyyx????????????即：)(1)(yxf????【例1】試證明下列基本導數公式().(arcsin)().()().(log)ln1112113122xxarctgxxaxax????????證1、設yxsin?為直接函數，xyarcs

3、in?是它的反函數函數yxsin?在)22(????yI上單調、可導，且???xycos0因此，在)11(??xI上，有yxcos1)arcsin(??注意到，當)22(????y時，0cos?y，221sin1cosxyy????因此，211)arcsin(xx???證2設xtgy?，)22(????yI則yarctgx?，Ix?????()tgyx?在Iy上單調、可導且0cos12???yx故2221111cos)(1)(xytgy

4、tgyarctgx????????證3axaaaayyxln1ln1)(1)log(?????dydxdydududvdvdx???(2)、用鎖鏈規(guī)則求導的用鎖鏈規(guī)則求導的關鍵關鍵引入中間變量，將復合函數分解成基本初等函數。還應注意還應注意：求導完成后，應將引入的中間變量代換成原自變量?！纠?】求yx?sin2的導數dydx。解：設ux?2，則yu?sin，ux?2，由鎖鏈規(guī)則有：dydxdydududxuxux?????????(si

5、n)()(cos)cos2222【例4】設ytgx?ln2，求dydx。由鎖鏈規(guī)則有dxdvdvdududydxdy???21cos112???vu(基本初等函數求導)212cos1212???xxtg(消中間變量)xsin1?由上例，不難發(fā)現(xiàn)復合函數求導竅門竅門中間變量在求導過程中，只是起過渡作用，熟練之后，可不必引入，僅需“心中有鏈心中有鏈”。然后，對函數所有中間變量求導，直至求到自變量為止，最后諸導數相乘。請看下面的演示過程：)2