用空間向量解決立體幾何的空間角問題_第1頁
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1、用空間向量解決立體幾何的空間角問題一、異面直線所成的角一、異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為分別是的方向向量，注意到異面直線所成角的ab，?，，abab，范圍是，則有??090，coscos???，ababab例1已知正方形和矩形所在平面互相垂直，試在線段ABCDACEF21ABAF??，AC上確定一點(diǎn)，使得與所成的角是PPFCD60解：如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，則Cxyz?(200)(221)CDF?????，，，，，設(shè)，得(0

2、)(02)Pttt，，≤≤(221)PFtt???????，，又和所成的角是，PF∵CD6022(2)2cos60(2)(2)12ttt??????解得或（舍去），即點(diǎn)是的中點(diǎn)22t?322t?PAC評(píng)議：采用傳統(tǒng)的平移法求異面直線所成角的大小，免不了要作輔助線和幾何推理這里運(yùn)用向量法，沒有了這些手續(xù)，顯得便當(dāng)快捷二、直線和平面所成的角二、直線和平面所成的角如圖2，點(diǎn)在平面外，為內(nèi)一點(diǎn)，斜線和平面所成的角為，為的一P?M?MP??n?個(gè)

3、法向量，注意到斜線和平面所太角的范圍是，則有(090)，，結(jié)合向量的夾角公式便可求π2MP???????，n?例2在正三棱柱中，已知在棱上，111ABCABC?1ABD?，1BB且，若與平面所成的角為，則（）1BD?AD11AACC???ＡＢＣＤπ3π410arcsin46arcsin4解：取中點(diǎn)，連結(jié)，則，如圖3，建立空間直角坐ACEBEBEAC?標(biāo)系，則，則Bxyz?310(001)22AD????????，，，，，31122AD?

4、??????????????，，33020CMxyMNxz??????????????????????，，nn取，則1z?26xy???則(261)??，，n又為平面的一個(gè)法向量，(0022)OS?????，，ABC1cos3nOSOSOS??????????????，nn∴二面角的大小為∴NCMB??1arccos3評(píng)議：利用向量法求空間角的大小，經(jīng)常用到平面的法向量求法向量的方法主要有兩種：1、求平面的垂線的方向向量；2、利用法向量

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