分離常數(shù)法與分離參數(shù)法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、分離常數(shù)法與分離參數(shù)法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分離常數(shù)法是研究分式函數(shù)的一種代數(shù)變形的常用方法，主要的分式函數(shù)有，，，等.解題的關(guān)鍵是通過恒等變axbycxd???22axbxcymxnxp?????xxmanypaq?????sinsinmxnypxq?????形從分式函數(shù)中分離出常數(shù).1.用分離常數(shù)法求分式函數(shù)的值域例1求函數(shù)的值域.31()(1)2xfxxx????解由已知有.3[(2)2]1()2xfxx?????3(2)77322x

2、xx???????由，得.∴.1x?21x???1102x????∴函數(shù)的值域?yàn)?()fx|43yRy????2.用分離常數(shù)法判斷分式函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.()()xafxabxb????()fx解由已知有，.()1xbababyxbxb?????????xb??所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，0ab??()fx()b???()b???0ab??函數(shù)在和上是增函數(shù).()fx()b???()b???3.用分離常

3、數(shù)法求分式函數(shù)的最值例3設(shè)，求函數(shù)的最小值.1x??2710()1xxfxx????解∵，∴.1x??10x??由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1xxfxx????????2(1)5(1)41xxx??????4[(1)]51xx?????.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.42(1)591xx?????411xx???1x?∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.1x?()fx9分離參數(shù)法分離參數(shù)法是求參數(shù)的取值范圍的一種常用方法，通過分離參數(shù)，用函

4、數(shù)觀點(diǎn)討論主變量的變化情況，由此我們可以確定參數(shù)的變化范圍.這種方法可以避免分類討論的麻煩，從而使問題得以順利解決.分離參數(shù)法在解決有關(guān)不等式恒成立、不等式有解、函數(shù)有零點(diǎn)、函數(shù)單調(diào)性中參數(shù)的取值范圍問題時(shí)經(jīng)常用到.解題的關(guān)鍵是分離出參數(shù)之后將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題.1.用分離參數(shù)法解決函數(shù)有零點(diǎn)問題例4已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的取值范圍.2()4gxxax???[24]a解∵函數(shù)在上有零點(diǎn)，∴方程在上有2()4gxxax??