畢業(yè)論文淺談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用

1、<p>　　淺談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用</p><p><b>　　內(nèi)容摘要</b></p><p>　　數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分關(guān)鍵的地位，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)造思想方法是一種極具創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法，它充分滲透在其他的數(shù)學(xué)思想方法之中。</p><p>　　利用構(gòu)造法解題可以更直觀，更簡(jiǎn)單的解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。鑒于此

2、，本文的重點(diǎn)主要體現(xiàn)在構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用上。具體來(lái)說(shuō)，本文將重點(diǎn)闡述以下幾個(gè)問(wèn)題：構(gòu)造法的理論簡(jiǎn)介及應(yīng)用:如構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造方程、構(gòu)造幾何模型、構(gòu)造遞推關(guān)系式、構(gòu)造等價(jià)命題等。 </p><p>　　【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)解題 構(gòu)造法 數(shù)學(xué)問(wèn)題</p><p>　　Construction method in solving problems</p><

3、p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Mathematical way of thinking in mathematics teaching in secondary schools has a very key position.mathematics teaching in high school,structure of thinking is a hi

4、ghly creative mathematical thinking.It fully permeate into other mathematical way of thinking.</p><p>　　Solving Problems by construction can be more intuitive and easier to solve complicated mathematical pro

5、blems.In view of this, This article focuses mainly in the construction method in solving problems. Specifically, this article focuses on the following issues: the definition of construction method, In Algebra: Constructi

6、on expression and formula, structural equation, structural relationship, constructors, construction proposition, construction sequence, structural model, structural vector, etc.</p><p>　　顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音</p&g

7、t;<p>　　字典 - 查看字典詳細(xì)內(nèi)容</p><p>　　顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音</p><p>　　字典 - 查看字典詳細(xì)內(nèi)容</p><p>　　【Key words】 Mathematical problem solving Construction method Math problems</p><

8、p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　一、引言2</b></p><p>　　二、構(gòu)造法的理論簡(jiǎn)介2</p><p><b>　?。ㄒ唬?gòu)造法2</b></p><p>　　（二）構(gòu)造法的歷史過(guò)程3</p><p>

9、;　?。ㄈ?gòu)造法的特征3</p><p>　　三、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用4</p><p><b>　?。ㄒ唬?gòu)造函數(shù)4</b></p><p><b>　　（二）構(gòu)造向量5</b></p><p><b>　?。ㄈ?gòu)造數(shù)列5</b></p><

10、p><b>　?。ㄋ模?gòu)造方程6</b></p><p>　　（五）構(gòu)造幾何模型7</p><p>　　（六）構(gòu)造遞推關(guān)系式8</p><p>　?。ㄆ撸?gòu)造等價(jià)命題8</p><p><b>　　四、結(jié)束語(yǔ)9</b></p><p><b>　　參

11、考文獻(xiàn)：9</b></p><p><b>　　致謝：9</b></p><p>　　淺談構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用</p><p>　　學(xué)生姓名： 指導(dǎo)老師：</p><p><b>　　一、引言</b></p><p>　　數(shù)學(xué)思想

12、方法是解數(shù)學(xué)題的靈魂，構(gòu)造法作為一種傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)產(chǎn)生時(shí)就存在。歷史上有不少數(shù)學(xué)家，如歐幾里得，歐拉，高斯，拉格朗日等人，都曾用構(gòu)造法解決過(guò)數(shù)學(xué)上的很多難題。</p><p>　　數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著豐富的美，構(gòu)造法則起到了錦上添花的作用，近幾年來(lái)，構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中也有了很高的地位。利用構(gòu)造法解題需要有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，較強(qiáng)的觀察能力，創(chuàng)造思維和綜合運(yùn)用能力等。</p><p>　　構(gòu)造

13、法反映了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性思維特點(diǎn)，我們所學(xué)的“構(gòu)造”并不是“胡思亂想”，不是隨便“編造”出來(lái)的，而是以我們所學(xué)習(xí)掌握的知識(shí)為背景，以具備的扎實(shí)的能力為基礎(chǔ)，通過(guò)仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的每一個(gè)環(huán)節(jié)以及他們的聯(lián)系，進(jìn)而為尋求解題方法創(chuàng)造條件。在運(yùn)用構(gòu)造法解題的步驟中，不僅可以鞏固學(xué)生的基本知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、聯(lián)想、猜測(cè)等數(shù)學(xué)能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重對(duì)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解題的日常訓(xùn)練，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)

14、知識(shí)見(jiàn)的內(nèi)在聯(lián)系和相互的轉(zhuǎn)化歸結(jié)，能創(chuàng)造性的構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，巧妙地解決問(wèn)題，從而獲得學(xué)習(xí)的輕松感和愉悅感，體驗(yàn)成功的感覺(jué)，培養(yǎng)與增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。</p><p>　　二、構(gòu)造法的理論簡(jiǎn)介</p><p><b>　　構(gòu)造法</b></p><p>　　所謂的構(gòu)造法，就是根據(jù)問(wèn)題的有關(guān)信息，確定某種特定的映射

15、關(guān)系構(gòu)想出數(shù)學(xué)模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)學(xué)模型的數(shù)理機(jī)制的研究，從而達(dá)到解題目的的一種化歸方法。</p><p>　　構(gòu)造法是解決各類數(shù)學(xué)題常用而且重要的方法之一，它在解決不同題目時(shí)的思考方式靈活。構(gòu)造的形式不盡相同，如何系統(tǒng)的理解和掌握構(gòu)造法及其構(gòu)造的思路對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就顯得十分必要和重要。本文結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)際闡述了構(gòu)造法在數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用的重要性和必要性。</p><p>　　我們?cè)诮忸}過(guò)程中，出于某

16、種需要，要么把題設(shè)條件中的關(guān)系構(gòu)造出來(lái)，要么將關(guān)系設(shè)想在某個(gè)模型上得以實(shí)現(xiàn)，要么將已知條件經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)倪壿嫿M合而構(gòu)造出一種新的形式，從而使問(wèn)題得以解決。在這種思維過(guò)程中，對(duì)已有的知識(shí)和方法采取分解、組合、變換、類比限定、推廣等手段進(jìn)行思維的再創(chuàng)造，構(gòu)造新的式子或圖形來(lái)幫助解題的思想，我們稱之為構(gòu)造的思想。</p><p>　　構(gòu)造思想方法作為一種常用的數(shù)學(xué)思想方法，具有其自身獨(dú)特的顯著特征，主要表現(xiàn)在：構(gòu)造性、直觀

17、性、可行性、靈活性以及思維的多樣性。</p><p>　　構(gòu)造法的實(shí)質(zhì)是一句某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象、一種新的數(shù)學(xué)形式；或者利用具體問(wèn)題的特殊性，為待解決的問(wèn)題設(shè)計(jì)一個(gè)合理的框架，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并得到解決的方法。它的具體解題過(guò)程可以用下面的框架來(lái)表示：</p><p>　?。ǘ?gòu)造

18、法的歷史過(guò)程</p><p>　?。?） 構(gòu)造法與構(gòu)造主義</p><p>　　從數(shù)學(xué)產(chǎn)生的那天起，數(shù)學(xué)中的構(gòu)造性的方法也就伴隨著產(chǎn)生了。但是構(gòu)造性方法這個(gè)術(shù)語(yǔ)的提出，以至把這個(gè)方法推向極端，并致力于這個(gè)方法的研究，是與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的直覺(jué)派有關(guān)。直覺(jué)派處于對(duì)數(shù)學(xué)的可信性的考慮，提出一個(gè)著名的口號(hào)：“存在必須是被構(gòu)造?！边@就是構(gòu)造主義。</p><p><b>

19、　?。?）直覺(jué)數(shù)學(xué)階段</b></p><p>　　直覺(jué)派的先驅(qū)者是19世紀(jì)末德國(guó)的克隆尼克，他明確提出并強(qiáng)調(diào)了能行性，主張沒(méi)有能行性就不得不承認(rèn)它的存在性。</p><p>　　他在數(shù)學(xué)工作中的立場(chǎng)是：第一，認(rèn)為數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)不是集合論，而是自然數(shù)論。第二，否認(rèn)傳統(tǒng)邏輯的普遍有效性而重建直覺(jué)派邏輯。第三，批判傳統(tǒng)數(shù)學(xué)缺乏構(gòu)造性，創(chuàng)立具有構(gòu)造性的“直覺(jué)數(shù)學(xué)”。</p>

20、<p><b>　?。?）算法數(shù)學(xué)階段</b></p><p>　　“發(fā)現(xiàn)集合論悖論以后，有些數(shù)學(xué)家認(rèn)定了解決這些悖論引起的問(wèn)題的唯一徹底的方法就是把所有的一般集合論概念都叢數(shù)學(xué)中排除掉，只限于研究那些可以能行的定義或構(gòu)造的對(duì)象”這就是布勞威創(chuàng)立直覺(jué)數(shù)學(xué)的想法。由于馬爾科夫的工作，使構(gòu)造性方法進(jìn)入了“算法數(shù)學(xué)”的階段。</p><p>　?。?）現(xiàn)代構(gòu)造

21、數(shù)學(xué)階段</p><p>　　1967年，比肖泊的書出版以后，宣告了構(gòu)造法進(jìn)入“現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)”階段。比肖泊通過(guò)重建現(xiàn)代分析的一個(gè)重要部分，重新激發(fā)了構(gòu)造法的活力。他研究的課題廣及測(cè)度論、對(duì)偶理論、泛函微積。</p><p><b>　　（三）構(gòu)造法的特征</b></p><p>　　運(yùn)用構(gòu)造法解決問(wèn)題有以下特點(diǎn)：</p><

22、p>　?。?）構(gòu)造法是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)輔助問(wèn)題而使原問(wèn)題得到轉(zhuǎn)化。</p><p>　?。?）構(gòu)造法解決問(wèn)題的步驟比較直觀。</p><p>　　（3）構(gòu)造法解決問(wèn)題有非常大的靈活性．針對(duì)某一具體問(wèn)題，怎樣去進(jìn)行構(gòu)造。這與學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功和解題經(jīng)驗(yàn)都密切相關(guān)。</p><p>　　當(dāng)我們遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題而無(wú)從下手解決時(shí)，如果我們恰到好處的構(gòu)造出一個(gè)數(shù)學(xué)

23、模型來(lái)，便會(huì)有種“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的感覺(jué)。</p><p>　　三、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用</p><p>　　理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個(gè)認(rèn)識(shí)上的飛躍。很多數(shù)學(xué)命題繁冗復(fù)雜，難尋入口，若巧妙運(yùn)用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。</p><p><b>　?。ㄒ唬?gòu)造函數(shù)</b></p

24、><p>　　函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本出發(fā)點(diǎn)，利用函數(shù)的性質(zhì)，將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)解，是一種常見(jiàn)、并且非常有效的做法。</p><p><b>　　例1：若，</b></p><p><b>　　證明： 。 </b></p><p>　　分析：這三個(gè)分式的結(jié)構(gòu)類似，可以看

25、作是函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的值。所以構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，圖象是雙曲線，直線和是該雙曲線的漸近線，利用函數(shù)的單調(diào)性有：</p><p><b>　　例2：解方程</b></p><p>　　分析：通過(guò)觀察方程可知方程的特點(diǎn)，并構(gòu)造函數(shù)。</p><p>　　為奇函數(shù)。由原方程可知，</p><p>　　即，又有為單調(diào)遞增函

26、數(shù)，所以，原方程得解。</p><p><b>　?。ǘ?gòu)造向量</b></p><p>　　平面向量是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的教學(xué)工具，它不僅反映數(shù)量關(guān)系，而且體現(xiàn)位置關(guān)系，所以充分利用向量模型可以解決代數(shù)，幾何以及三角等數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，其解題思路簡(jiǎn)單，尤其是對(duì)幾何問(wèn)題，效果相當(dāng)顯著。</p><p>　　例3：求函數(shù)的最大

27、值。</p><p>　　解：構(gòu)造向量a=(2,2),b=,于是，</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以時(shí)，等號(hào)成立。</p><p>　　時(shí)，取得最大值4。</p><p>　　例4：已知為正數(shù)，求函數(shù)的最小值。</p><p>　　解：構(gòu)造向量，原函數(shù)則化為：</p><p><b

28、>　?。ㄈ?gòu)造數(shù)列</b></p><p>　　在解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題尤其是不等式證明題中，通?？梢詷?gòu)造一個(gè)數(shù)列，利用數(shù)列的性質(zhì)（如單調(diào)性）和數(shù)列的求和運(yùn)算來(lái)解題，很有實(shí)用價(jià)值。</p><p><b>　　例5：證明：</b></p><p>　　分析：此題若直接證明，比較有難度，如果構(gòu)造數(shù)列</p><p

29、><b>　　，</b></p><p>　　利用平均值不等式，所以，顯然成立。</p><p><b>　　例6：求證 。</b></p><p>　　證明：構(gòu)造數(shù)列，所以只要證明即可。</p><p><b>　　（1）</b></p><p>

30、;<b>　　（2）假設(shè)，則</b></p><p>　　綜上可知，原式對(duì)一切均成立。</p><p><b>　?。ㄋ模?gòu)造方程</b></p><p>　　方程是解數(shù)學(xué)題的一個(gè)重要工具，對(duì)于很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)其已知條件，數(shù)量關(guān)系構(gòu)造出與結(jié)論相關(guān)的輔助方程，在已知與未知之間搭起橋梁，通過(guò)對(duì)輔助方程及方程的性質(zhì)（比如求根、

31、找根與系數(shù)的關(guān)系、找判別式）的研究，來(lái)解決原問(wèn)題，使解答簡(jiǎn)潔、合理。</p><p>　　例7：已知為互不相等的實(shí)數(shù)，</p><p>　　試證 （1）</p><p>　　證明：構(gòu)造方程 （2）</p><p>　　顯然，為方程的三個(gè)互不相等的實(shí)根。&

32、lt;/p><p>　　任意實(shí)數(shù)均滿足（2）式，特別的，令，即得（1）式</p><p>　　例8：已知，求的值。</p><p>　　解：（1）當(dāng)時(shí)，由有</p><p><b>　　所以 ，則</b></p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，由已知條件構(gòu)造輔助方程，那么就是該輔助方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理

33、可得：，所以.</p><p><b>　?。ㄎ澹?gòu)造幾何模型</b></p><p>　　如果原問(wèn)題的已知條件中，數(shù)量關(guān)系有比較明顯的幾何意義或者是以某一種形式可以和幾何圖形建立聯(lián)系，那么我們就可以通過(guò)幾何作圖來(lái)構(gòu)造圖形，在圖形中展現(xiàn)已知條件和數(shù)量關(guān)系，然后在構(gòu)造出的圖形中找到原問(wèn)題的結(jié)論。</p><p>　　構(gòu)造幾何模型，可以使題目更加直

34、觀。</p><p><b>　　例9：試證</b></p><p>　　分析：由隱含條件可知和的形式考慮到可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，使 ,顯然 </p><p><b>　　C</b></p><p>　　A　　　　　　　　　B</p><p&

35、gt;　　例10：對(duì)于正數(shù)，若，求證</p><p>　　分析：這是一個(gè)不等式問(wèn)題，我們很容易想到它的代數(shù)式解法，即由等式 </p><p><b>　　來(lái)證明。</b></p><p>　　但是另外一種方法更加簡(jiǎn)單，結(jié)論非常直觀——構(gòu)造圖形來(lái)解答。</p&g

36、t;<p>　　構(gòu)造邊長(zhǎng)為的正方形，且令 ； </p><p>　　并作出相應(yīng)的矩形（1）（2）（3），由，就有了。</p><p>　　D　　　F　　　　　　C　</p><p><b>　　G</b></p>

37、<p><b>　　E</b></p><p>　　A　　　 H 　　　　　 B</p><p><b>　　H</b></p><p>　?。?gòu)造遞推關(guān)系式</p><p>　　根據(jù)函數(shù)方程和遞推關(guān)系式之間的關(guān)系，根據(jù)已知條件、各種公式定理以及相應(yīng)的運(yùn)算法則，構(gòu)造一個(gè)遞推關(guān)系式，能產(chǎn)

38、生意想不到的效果。</p><p>　　例11：設(shè)是方程的兩根，試求的值。</p><p><b>　　分析：令，由，可知</b></p><p>　　重復(fù)迭代，就可算出任意的值，這里，</p><p><b>　?。ㄆ撸?gòu)造等價(jià)命題</b></p><p>　　命題的表達(dá)方

39、式大多抽象復(fù)雜，如果直接論證比較困難時(shí)，可以構(gòu)造一個(gè)表達(dá)方式較為通俗明了，而且和原命題等價(jià)的新命題（比如構(gòu)造原命題的逆否命題），這樣就達(dá)到了很好的效果。</p><p>　　例12：設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù),</p><p><b>　　，</b></p><p>　　是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)集，那么是否存在實(shí)數(shù)使得同時(shí)成立。</p><p&g

40、t;　　分析：由可知存在整數(shù)，使得，由則，</p><p>　　所以原命題等價(jià)于新命題：討論關(guān)于的方程組是否有實(shí)數(shù)解。</p><p>　　所以不存在實(shí)數(shù)使得原命題中（1）（2）同時(shí)成立。</p><p><b>　　四、結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　對(duì)于構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用，除了以上所列舉的這些以外，我們還需要加

41、強(qiáng)這方面的補(bǔ)充和完善，對(duì)其進(jìn)行深入和廣泛的研究，將構(gòu)造法應(yīng)用于更多的數(shù)學(xué)題中。數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開大膽的創(chuàng)新與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶剿鳎挥羞@樣，才能為迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域提供更好的幫助和服務(wù)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]高桐樂(lè) 數(shù)學(xué)解題中的基本模型構(gòu)造（第二版） 1989（11）.</p><p>　　

42、[2]閔嗣鶴 嚴(yán)士健 初等數(shù)論2003.</p><p>　　[3]張同君 陳傳理 競(jìng)賽數(shù)學(xué)解題研究[M].高等教育出版社 2005.11 </p><p>　　[4]陳自強(qiáng) 數(shù)學(xué)解題思維方法導(dǎo)引[M].中南工業(yè)大學(xué)出版社 1995.6</p><p>　　[5]王子興 數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].廣西師范大學(xué)出版社 1992.1</p><p&

43、gt;　　[6]侯敏義 數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)方法論 東北師范大學(xué)出版社.1991</p><p><b>　　致謝：</b></p><p>　　經(jīng)過(guò)一個(gè)階段的努力，本次畢業(yè)論文即將接近尾聲。論文寫作是一個(gè)系統(tǒng)再學(xué)習(xí)的過(guò)程，在知識(shí)與思想上，都使我受益匪淺。在寫作中，我也遇到了一些困難，感謝指導(dǎo)老師以及同學(xué)們的支持與幫助。</p><p>　　在本次