講義---平面向量與三角形四心的交匯

1、1講義講義平面向量與三角形四心的交平面向量與三角形四心的交匯一、四心的概念介紹（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心的重心.????0OCOBOAOABC?證法1：設(shè))()()()(3322

2、11yxCyxByxAyxO是????0OCOBOA???????????????0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx??????????????33321321yyyyxxxx?O的重心.ABC?證法2：如圖?OCOBOA??02???ODOA?ODAO2?三點共線，且分?DOA、、OAD為2：1是的重心?OABC?（2）為的垂心的垂心.??????OAOCOCOBOBOAOABC?證明：如圖所示O是三角形

3、ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.0)(????????CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB??同理，BCOA?ABOC?為的垂心?OABC?（3）設(shè)是三角形的三條是三角形的三條邊長邊長，O是ABC的內(nèi)心的內(nèi)心abc?為的內(nèi)心的內(nèi)心.OOCcOBbOAa????0ABC?證明：分別為方向上的單位向量，bACcAB、?ACAB、平分?bACcAB?BAC?)，令(???AObACcAB?cbabc????OA

4、BCDEOABCDE3例5、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數(shù)m=ABC?()OHmOAOBOC???????????????????例6、點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點O是的（）OAOBOBOCOCOA??????????????????????????AAAABC?A三個內(nèi)角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的交點C三條中線的交點D三條高的交點例7在內(nèi)求一點，使最小△ABCP222APBPCP??

5、例8已知為所在平面內(nèi)一點，滿足，則為O△ABC222222||||||||||||OABCOBCAOCAB?????????????????????????????O的心△ABC例9.已知O是△ABC所在平面上的一點，若，則O點是△ABC的()OAOBOBOCOCOA?????????????????????????????A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心例10已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點，滿足=，則O點2222||||||||OAB

6、COBCA???????????????????22||||OCAB?????????是△ABC的()A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心例11已知O是△ABC所在平面上的一點，若===0，則()OAOBAB??????????????()OBOCBC??????????????()OCOACA??????????????O點是△ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心例12：已知O是△ABC所在平面上的一點，若=0，則O點是△ABC的