三角形四心的向量性質(zhì)及應(yīng)用(教師用答案版)20120516

1、1三角形三角形“四心四心”的向量性質(zhì)及其應(yīng)用的向量性質(zhì)及其應(yīng)用三角形三角形“四心四心”的概念介紹(1)重心—三條中線(xiàn)的交點(diǎn)：重心將中線(xiàn)長(zhǎng)度分成2：1；(2)外心—三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；(3)垂心—三條高線(xiàn)的交點(diǎn)：高線(xiàn)與對(duì)應(yīng)邊垂直；(4)內(nèi)心—三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)：角平分線(xiàn)上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等工具：工具：為內(nèi)一點(diǎn)，則有：OABC△0?????????OCSOBSOASOAB

2、OCAOBC證明：延長(zhǎng)交于，如圖必有：，AOBCD||||OAODSSSOABOCAOBC?????，；（）||||BCBDSSSOABOCAOAB?????||||BCCDSSSOABOCAOCA?????由共線(xiàn)，得：DOA0||||??ODODOAOA進(jìn)而得：①0||||???ODOAOAOD由共線(xiàn)，得：②CDBOCBCBDOBBCCDOD????||||||||由①②得：代入（）結(jié)論OAOAOD?||||0||||||||????

3、?OCBCBDOBBCCD得??????OASSSOABOCAOBC??????OBSSSOABOCAOCA0??????OCSSSOABOCAOAB消去分母得：證畢.0?????????OCSOBSOASOABOCAOBC另證：作，如圖：為平行四邊形；ACOGABOHAGOH由OCSOBSOASOABOCAOBC????????)()(ACOASABOASOASOABOCAOBC???????????ACSABSOASOABOCAAB

4、C?????????)(ACSSABSSOASABCOABABCOCAABC??????????)(ACACAHABABAGOASABC??????)(AHAGOASABC????0)(????AOOASABCABCODABCODHFEG302sin2sin2sin???????OCCOBBOAA略證：，得：CBASSSOABOCAOBC2sin:2sin:2sin::????02sin2sin2sin??????OCCOBBOAA常用

5、結(jié)論：是的外心OABC△?.2||2||22ACAOACABAOAB????三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用知識(shí)知識(shí)：是的垂心HABC△?HAHCHCHBHBHA??????222222||||||||||||ABHCCAHBBCHA?????0tantantan???????HCCHBBHAA略證：，得：CBASSSHABHCAHBCtan:tan:tan::????0tantantan??????HC

6、CHBBHAA擴(kuò)展：若是的外心，點(diǎn)滿(mǎn)足：，則是的垂心OABC△HOCOBOAOH???HABC△證明：如圖：為直徑，為垂心，為外心，為中點(diǎn)；BEHODBC有：為平行四邊形AHCEEACHABEAABCHECAHBCECBCAH????????????????????進(jìn)而得到：且，即：；ECAHECAH?ECAH?又易知：；OCOBODEC???2故：，即：OAOHOCOBAH????OCOBOAOH???又：（為重心），故：；OGOCO

7、BOA????3GOGOH??3故：得到歐拉線(xiàn)：的外心，重心，垂心三點(diǎn)共線(xiàn)(歐拉線(xiàn))，且證畢ABC△OGHGHOG21?四、三角形的內(nèi)心的向量表示及應(yīng)用四、三角形的內(nèi)心的向量表示及應(yīng)用知識(shí)：知識(shí)：是的內(nèi)心IABC△?????????????????????????????????????????????0||||0||||0||||CBCBCACACIBCBCBABABIACACABABAI???????????????????????