三角形五心講課

1、三角形的五心,一 重心,三角形的三條邊的中線(xiàn)交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。,,銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形,重心,重心的性質(zhì),1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1。  2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。,重 心 三條中線(xiàn)定相交，交點(diǎn)位置真奇巧， 交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了， 重心分割中線(xiàn)段，數(shù)段之比聽(tīng)分曉； 長(zhǎng)短之比二

2、比一，靈活運(yùn)用掌握好．,外心,三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。,,銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形,外心,外心的性質(zhì)：,1、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。,2、外心到三頂點(diǎn)的距離相等,外 心 三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊． 作三邊的中垂線(xiàn)，三線(xiàn)相交共一點(diǎn)． 此點(diǎn)定義為“外心”，用它可作外接圓． “內(nèi)心”

3、“外心”莫記混，“內(nèi)切”“外接”是關(guān)鍵．,三角形垂心,三角形的三條高（所在直線(xiàn)）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。,,銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形,垂心,垂心的性質(zhì)：,1、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。  2、垂心分每條高線(xiàn)的兩部分乘積相等。,垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高線(xiàn)分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整， 直角三角形有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形， 四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心

4、分析可找清 三角形垂心到任一頂點(diǎn)的距離等于其外心到對(duì)邊距離的2倍,三角形內(nèi)心,三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。,,銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形,內(nèi)心,1、三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。  2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。,內(nèi)心的性質(zhì)：,內(nèi) 心 三角對(duì)應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線(xiàn)， 三線(xiàn)相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源； 點(diǎn)至三邊均等距，可

5、作三角形內(nèi)切圓， 此圓圓心稱(chēng)“內(nèi)心”如此定義理當(dāng)然．,三角形旁心,三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。,三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時(shí)重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。,三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心稱(chēng)為三角形的五心。,定義：重心:三角形頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn),稱(chēng)為三角形重心; 垂心:三角形各邊上的高交于一點(diǎn),稱(chēng)為三角形垂心; 外心:三角形各邊上的垂直平分

6、線(xiàn)交于一點(diǎn),稱(chēng)為三角形外心; 內(nèi)心:三角形三內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn),稱(chēng)為三角形內(nèi)心; 旁心：是一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)與其不相鄰的兩個(gè)外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。 中心:正三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心重合，稱(chēng)為正三角形的中心。,三角形四心的復(fù)習(xí),,,中線(xiàn),高線(xiàn),中垂線(xiàn),角平分線(xiàn),2:1,頂點(diǎn),三邊,內(nèi)部,內(nèi)部,外部,直角頂點(diǎn),內(nèi)部,外部,斜邊中點(diǎn),內(nèi)部,重心：證明三條中線(xiàn)交于同一點(diǎn)重心分中線(xiàn)的比為2：1,,證法1圖,證法2圖

7、,外心：證明三條垂直平分線(xiàn)交于同一點(diǎn),,,內(nèi)心：證明三條角平分線(xiàn)交于同一點(diǎn),,,,相關(guān)結(jié)論,(1)三角形的內(nèi)心到三角形三邊距離相等.(2)三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.(3)三角形的重心把每條中線(xiàn)均分成2:1兩部分.(4)直角三角形的內(nèi)切圓半徑r= (a+b-c);外接圓半徑R=(5)三角形面積公式：S= 周長(zhǎng) r(6)等腰三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心共線(xiàn)(均在對(duì)稱(chēng)軸上).(7)等邊三角形的內(nèi)心、

8、外心、重心、垂心共點(diǎn).,三角形各心常見(jiàn)應(yīng)用舉例,例1：三條直線(xiàn)a、b、c 分別表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路距離相等，則可供選擇的地址有幾處？例2：A、B 、C三個(gè)點(diǎn)分別表示三個(gè)學(xué)校，要建一個(gè)快餐店，使三個(gè)學(xué)校到快餐店距離相等，則快餐店應(yīng)建在何處？,練習(xí),1。等腰三角形底邊上的高與底角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)是等腰三角形的 心。2。點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且△PAB, △ PB

9、C,△PAC面積相等，則點(diǎn)P是△ABC的 心。3。⊙O與△ABC三邊相交所截得的線(xiàn)段相等，則點(diǎn)O是△ABC的 心。,,,,例1 設(shè)G為△ABC的重心，M、N分別為BC、CA的中點(diǎn)，求證：四邊形GMCN和△GAB的面積相等．,典型例題,,例2 證明三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的二倍．,,,練一練：,已知三角形三邊長(zhǎng)分別為5、12、13，那么：垂心到外心的距離是

10、 ，重心到垂心的距離是 ，垂心到最大邊的距離是 ，斜邊上的高是 ，重心到最長(zhǎng)邊的距離是 。外心到最短邊的距離是 ，內(nèi)心到垂心的距離是 。,小結(jié),三角形的主要線(xiàn)段——中線(xiàn)、高、內(nèi)角平分線(xiàn)及各邊的垂直平分線(xiàn)各交于一點(diǎn)“四心”不要混淆，中線(xiàn)是“重心”（“中”與“重”諧音），高線(xiàn)是垂心（高與垂直有關(guān)），外