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1、1二次根式及性質(zhì)二次根式及性質(zhì).知識要點:(1)平方根與立方根a.平方根的概念:如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根。用?a表示。例如:因為()?????525252552,所以的平方根為。b.算術(shù)平方根的概念:正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根。0的算術(shù)平方根為0。用a表示a的算術(shù)平方根。例如:3的平方根為?3,其中3為3的算術(shù)平方根。c.立方根的概念:如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根,用a3表示。例如
2、:因為3272727333??,所以的立方根為。d.平方根的特征:①一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù)。②0有一個平方根,就是0本身。③負(fù)數(shù)沒有平方根。e.立方根的特征:①正數(shù)有一個正的立方根。②負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根。③0的立方根為0。④???aa33。⑤立方根等于其本身的數(shù)有三個:1,0,-1。(2)二次根式a.二次根式的概念:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式(二次根式中,被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù),否則就沒有意義,并且根式a?0)。b
3、.二次根式的基本性質(zhì):①aa??00()②()aaa20??()③aaaaaaa20000???????????||()()()④ababab????(,)00⑤babaab???(,)00c.二次根式的乘除法①ababab????(,)00②babaab???(,)00d.最簡二次根式的標(biāo)準(zhǔn):①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式(分母中不含根號)。②被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式。e.同類二次根式的識別:幾個二次根式化簡到不能再化簡
4、為止后,被開方數(shù)相同,則這幾個二次根式是同類二次根式。例如:8222?與是同類二次根式,35aa與?是同類二次根式。f.二次根式的加減法運(yùn)算法則:在加減運(yùn)算中,一般把二次根式化簡后再運(yùn)算,運(yùn)算時只有同類二次根式才能合并(合并時,只合并根號外的因式,被開方數(shù)不變),合并同類二次根式之后的式子作為最后的結(jié)果(注意:最后結(jié)果要盡可能最簡)。h.使分母不帶根號(分母有理化)常用方法:①化去分母中的根號關(guān)鍵是確定與分母相乘后,其結(jié)果不再含根號的因
5、式。3③商值比較法:設(shè)a、b是兩個正實數(shù)若abab??1,則;若abab??1,則;若abab??1,則。注:除此以外還有平方法等方法?!镜湫屠}典型例題】例1.判斷下列說法是否正確:(1)4的平方根是2(2)-25的平方根是-5(3)()?82的算術(shù)平方根是8(4)-0.027的立方根是0.3(5)827的立方根是?23解析:解析:要作出正確判斷,必須弄清平方根、算術(shù)平方根的概念和立方根的概念。例2.要使下列各式有意義,字母x的取值必
6、須分別滿足什么條件?(1)34?x(2)?x2(3)xx???12(4)31??xx解析:解析:二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),分式有意義的條件是分母不為0,對于含有多個表達(dá)式的式子需同時讓每一個式子有意義,此表達(dá)式才有意義。例3.已知abab????35與||互為相反數(shù),求ab22?的值。例4.計算下列各式:(1)()232(2)()752(3)236?(4)41322xyxy?(5)()??123554(6)6301248?
7、?.(7)()(.)12418313405???解析:解析:(1)由公式()aaa20??()可以直接得到。(2)根據(jù)積的乘方法則()ababnnn??可以求解。(3)利用ababab????(,)00進(jìn)行乘法計算。(4)利用ababab????(,)00進(jìn)行乘法計算,但應(yīng)知道yx??00,。(5)利用ababab???(,)00進(jìn)行計算。(6)和(7)應(yīng)先對式子中的每個二次根式進(jìn)行化簡,然后對同類二次根式進(jìn)行合并。例5.化簡下列各式:
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