二次函數(shù)知識點(diǎn)

1、二次函數(shù)的定義1.一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為的二次函數(shù)，其中為2yaxbxc???abc，，0a?xx自變量，為因變量，分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù).yabc這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義0a?bc，域是全體實(shí)數(shù)2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：2yaxbxc???⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2xx⑵是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)abc，，ab

2、c二、二次函數(shù)的性質(zhì)1二次函數(shù)的性質(zhì)：2yax?0a?（）（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），對稱軸是（軸）.2yax?0x?y（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.2yax?a①當(dāng)時拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；0a???②當(dāng)時拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)；0a???2.的性質(zhì)：2yaxc??3.二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)2yaxbxc???0a?（）若二次函數(shù)解析式為（或）()，則：2yaxbxc???2()yaxhk???0a?（1）開口方向

3、：，（2）對稱軸：（或），00aa???????向上向下2bxa??xh?（3）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（或）24()24bacbaa??()hk（4）最值：時有最小值（或）（如圖1）；0a?244acba?k時有最大值（或）（如圖2）；0a?244acba?k的符號a開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)0a?向上??00，軸y時，隨的增大而增大；時，隨0x?yx0x?y的增大而減小；時，有最小值x0x?y00a?向下??00，軸y時，隨的增大而減?。粫r，隨0

4、x?yx0x?y的增大而增大；時，有最大值x0x?y0的符號a開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)0a?向上??0c，軸y時，隨的增大而增大；時，隨0x?yx0x?y的增大而減??；時，有最小值x0x?yc0a?向下??0c，軸y時，隨的增大而減小；時，隨0x?yx0x?y的增大而增大；時，有最大值x0x?yc??2yaxh??xh???0h，??2yaxhk???xh???hk，2yaxbxc???下2bxa??2424bacbaa???????

5、?，二、二次函數(shù)的三種表達(dá)方式（1）一般式：??20yaxbxca????（2）頂點(diǎn)式：??2yaxhk?????0a?（3）雙根式（交點(diǎn)式）：??????120yaxxxxa????2.如何設(shè)點(diǎn)：⑴一次函數(shù)（）圖像上的任意點(diǎn)可設(shè)為.其中時，該點(diǎn)為直yaxb??0a???11xaxb?，10x?線與軸交點(diǎn).y⑵二次函數(shù)（）圖像上的任意一點(diǎn)可設(shè)為.時，2yaxbxc???0a???2111xaxbxc??，10x?該點(diǎn)為拋物線與軸交點(diǎn)，當(dāng)

6、時，該點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)y12bxa??⑶點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為??11xy，??00xx，??010122xxyy??，4.如何設(shè)解析式：①已知任意3點(diǎn)坐標(biāo)，可用一般式求解二次函數(shù)解析式；②已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式；③已知拋物線與的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，可用交點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式.x④已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等時，可用對稱點(diǎn)式求解函數(shù)解析式（交點(diǎn)式可視為對稱點(diǎn)式的特例）注：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式

7、或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式x240bac??表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.一、二次函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，??0ykxnk???l??20yaxbxca????G由方程組的解的數(shù)目來確定：2ykxnyaxbxc????????①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點(diǎn)?lG②方程組只有一組解時與只有一個交點(diǎn)；?lG③方程組

8、無解時與沒有交點(diǎn).?lG二、二次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系1.二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系：二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系：1.直線與拋物線的交點(diǎn):（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0).y2yaxbxc???c（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)().yxh?2yaxbxc???h2ahbhc??（3）拋物線與軸的交點(diǎn):二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、x2yaxbxc???x1x，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況