多元函數(shù)的極限與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)

1、莫興德廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院,Email:moxingde@gxu.edu.cn,微 積 分,鏈接目錄,參考書,[1]趙樹嫄. 微積分. 中國人民出版社[2]同濟大學(xué). 高等數(shù)學(xué). 高等教育出版社,第八章 多元函數(shù),空間解析幾何簡介多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)全微分復(fù)合函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法二元函數(shù)的極值二重積分,8-3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)8-4 偏導(dǎo)數(shù),1、多元函數(shù)的極限,用平面上(x0,y0)

2、,(x,y)的距離,（1）定義中 的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的.,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則、無窮小、等價無窮小代換等。,說明：,證,當(dāng) 時，,原結(jié)論成立．,例2 求證,例3 求極限,

3、解,其中,例4 證明 不存在．,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在．,確定極限不存在的方法：,2、二元函數(shù)的連續(xù)性,解,取,當(dāng) 時,故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).,例6 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性．,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在．,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（1）最大值和最小值

4、定理,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．,（2）介值定理,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．,多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．,定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．,多元函數(shù)的定義,多元函

5、數(shù)極限的概念,（注意趨近方式的任意性）,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),3、小結(jié),思考題,不能.,例,取,原因為若取,思考題解答,練 習(xí) 題,二. 求下列各極限:,練習(xí)題答案,偏 導(dǎo) 數(shù),我們已經(jīng)知道一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個很重要的概念，是研究函數(shù)的有力工具，它反映了該點處函數(shù)隨自變量變化的快慢程度。 對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率問題。雖然多元函數(shù)的自變量不止一個，但實際問題常常要求在其它自變量不變的

6、條件下，只考慮函數(shù)對其中一個自變量的變化率，因此這種變化率依然是一元函數(shù)的變化率問題，這就是偏導(dǎo)數(shù)概念，對此給出如下定義。,一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法,如果函數(shù)z=f(x,y) 在區(qū)域D 內(nèi)任一點(x,y) 處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是 x、y 的函數(shù)，它就稱為函數(shù) 對自變量的偏導(dǎo)數(shù)。,記為：,同理可以定義函數(shù) z=f(x,y)對自變量y的偏導(dǎo)數(shù),記為：,偏導(dǎo)數(shù)的求法,求 時把 y 視為常數(shù)而對 x

7、 求導(dǎo),求 時把 x 視為常數(shù)而對 y 求導(dǎo),這仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)問題,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),一般地 設(shè),解,證,原結(jié)論成立．,解,不存在．,證,有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：,１、,２、,求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求,計算 f x (x0 ,y0 ) 時可先將 y = y0 代入 f (x ,y ),再對 x 求導(dǎo),然后代入 x = x0,計算 f y (x0 ,y

8、0 ) 時同理,解,3、,4、,偏導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)仍是一元函數(shù)求導(dǎo)問題，具體求導(dǎo)時要弄清是對哪個變量求導(dǎo)，其余均視為常量。,5、,若 f( x , y ) =f( y , x ),則稱 f( x , y ) 關(guān)于 x , y 具有輪換對稱性,在求 時,只需將所求的,中的 x , y 互換即可,6、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，,？,,但

9、函數(shù)在該點處并不連續(xù).,偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).,7、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,如圖,幾何意義:,二、高階偏導(dǎo)數(shù),純偏導(dǎo),混合偏導(dǎo),定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).,觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：,,,,,原函數(shù)圖形,偏導(dǎo)函數(shù)圖形,偏導(dǎo)函數(shù)圖形,二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形,解,問題：,混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？,解,三、小結(jié),偏導(dǎo)數(shù)的定義,（偏增量比的極限）,偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意