工程力學(xué)第8章軸向拉伸與壓縮2

1、,,第八章 軸向拉伸與壓縮,§8-1 引言,· 軸向拉伸或壓縮受力特點(diǎn)：,· 軸向拉伸或壓縮變形特點(diǎn)：,桿件受到的外力或其合力的作用線沿桿件軸線。,桿件沿軸線方向發(fā)生伸長(zhǎng)或縮短。,,,§8-2 軸力與軸力圖,一、軸力,,,,拉力為正（方向背離桿件截面）；壓力為負(fù)（方向指向桿件截面）。,· 軸力正負(fù)規(guī)定,,,二、軸力圖,表示軸力沿軸線方向變化情況的圖形，橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，縱坐標(biāo)

2、表示軸力的大小和方向。,例8-1：一等直桿受力情況如圖所示。試作桿的軸力圖。,,,解：⑴ 求約束力,解得：,⑵ 截面法計(jì)算各段軸力,AB 段：,BC 段：,解得：,解得：,,,CD 段：,DE 段：,解得：,解得：,⑶ 繪制軸力圖,,,§8-3 拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理,一、拉壓桿橫截面上的應(yīng)力,縱向線伸長(zhǎng)相等，橫向線保持與縱線垂直。,平面假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。,兩橫截面間所有縱向纖

3、維變形相同，則受力相同，說(shuō)明內(nèi)力均布，且橫截面上各點(diǎn)只有相同的正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力。,,,,,,材料的均勻連續(xù)性假設(shè)，可知所有縱向纖維的力學(xué)性能相同。,軸向拉壓時(shí)，橫截面上只有正應(yīng)力，且均勻分布,,橫截面上有正應(yīng)力無(wú)切應(yīng)力。,,,,,二、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力,α斜截面上總應(yīng)力,α斜截面正應(yīng)力,α斜截面切應(yīng)力,,,,,α斜截面正應(yīng)力,α斜截面切應(yīng)力,⑴ σ0 ：橫截面上的正應(yīng)力；α ：橫截面外法線轉(zhuǎn)到斜截面外法線所轉(zhuǎn)的角度，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之

4、為負(fù)。,⑵ 正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力以對(duì)研究對(duì)象內(nèi)任意點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)的矩為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)的矩為負(fù)。,,,,,鑄鐵拉伸的斷裂面為橫截面,低碳鋼由于抗剪能力比抗拉能力差，拉伸過(guò)程中出現(xiàn) 45o 滑移線,特殊截面應(yīng)力的特點(diǎn),,,例8-2：圖所示軸向受壓等截面桿件，橫截面面積 A = 400mm2 ，載荷F = 50kN ，試求橫截面及斜截面m -m上的應(yīng)力。,解：由題可得,斜截面上的正應(yīng)力,斜截面上的切應(yīng)力,,橫截面上的正應(yīng)力,,

5、,三、圣維南原理,外力作用于桿端的方式不同，只會(huì)使與桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。,光彈實(shí)驗(yàn),,,,§8-4 材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能,一、材料的力學(xué)性能概述,1. 材料的力學(xué)性能,材料從受力開(kāi)始到破壞過(guò)程中所表現(xiàn)出的在變形和破壞等方面的特性。,2. 試驗(yàn)試件,拉伸試件 壓縮試件,,,,,拉伸試驗(yàn)試件,圓形截面試件,矩形截面試件,拉伸試件,,,,,3. 受力與變形曲線,拉伸試驗(yàn)試件,,,,,曲線,曲線,,消除

6、試件尺寸的影響,,,二、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能,1.彈性階段,⑴ 彈性變形,⑵ 胡克定律,載荷卸除后能完全恢復(fù)的變形。,,當(dāng) 時(shí)， 與 成正比關(guān)系。,⑶ ， 與 不成正比關(guān)系。,,,：比例極限,,：彈性極限,,,2.屈服階段,⑴ 屈服（流動(dòng)）現(xiàn)象,⑵ 塑性變形,⑶ 試件表面磨光，屈服階段試件表面出現(xiàn)45o 的滑移線。,應(yīng)力基本不變，應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象。,載荷卸除后不能恢復(fù)的變形。,,：

7、屈服極限,,,3.強(qiáng)化階段,⑴ 強(qiáng)化,經(jīng)過(guò)屈服階段后，材料恢復(fù)抵抗變形的能力，應(yīng)力增大應(yīng)變?cè)龃蟆?⑵ 強(qiáng)度極限,,,⑴ 頸縮現(xiàn)象,過(guò)強(qiáng)化階段最高點(diǎn)后，試件某一局部范圍內(nèi)橫向尺寸急劇縮小。,⑵ 試件斷口呈杯口狀，材料呈顆粒狀。,4. 局部變形階段（頸縮階段）,,,斷口杯口狀，拉伸屈服階段受剪破壞,斷口中間材料呈顆粒狀，塑性材料三向受拉脆性斷裂破壞,低碳鋼抗剪能力比抗拉能力差,,,,5.材料的塑性指標(biāo),· 延伸率,· 截

8、面收縮率,延伸率和截面收縮率越大表明材料的塑性越好，一般認(rèn)為 為塑性材料， 為脆性材料。,,,6.卸載定律及冷作硬化,⑴ 卸載定律,⑵ 冷作硬化,在卸載過(guò)程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化。,材料塑性變形后卸載，重新加載，材料的比例極限提高，塑性變形和伸長(zhǎng)率降低的現(xiàn)象。,,,三、其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能,· 名義屈服極限,對(duì)于沒(méi)有明顯屈服點(diǎn)的塑性材料，將產(chǎn)生0.2%（0.002）塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力作為屈服

9、應(yīng)力（名義屈服極限）。,,,四、脆性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能,1.從加載至拉斷，變形很小，幾乎無(wú)塑性變形，斷口為試件橫截面，，呈顆粒狀，面積變化不大，為脆性斷裂，以強(qiáng)度極限作為材料的強(qiáng)度指標(biāo)。,2.鑄鐵的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線是微彎曲線，無(wú)直線階段，一般取曲線的割線代替曲線的開(kāi)始部分，以割線的斜率作為材料的彈性模量。,斷口為橫截面，最大拉應(yīng)力引起破壞,,斷口材料呈顆粒狀，鑄鐵單向受拉脆性斷裂破壞,,,,五、材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能,1.低碳鋼在壓

10、縮時(shí)的力學(xué)性能,⑴ 在屈服階段以前，壓縮曲線與拉伸曲線基本重合。,⑵ 進(jìn)入強(qiáng)化階段后試件壓縮時(shí)應(yīng)力的增長(zhǎng)率隨應(yīng)變的增加而越來(lái)越大，壓縮強(qiáng)度極限遠(yuǎn)高于拉伸強(qiáng)度極限。,,,2. 鑄鐵在壓縮時(shí)的力學(xué)性能,⑴ 鑄鐵的壓縮曲線與拉伸曲線相似，線性關(guān)系不明顯，但是抗壓強(qiáng)度比抗拉強(qiáng)度高 4 ～ 5 倍。,,,⑵ 鑄鐵試件壓縮破壞時(shí)，斷面的法線與軸線大致成 55o ～ 65o 的傾角，材料呈片狀。,,,斷口材料呈片狀，最大切應(yīng)力引起的剪切破壞,斷口的法

11、線與軸線成55o～65o,鑄鐵抗剪能力比抗壓能力差,,,,§8-5 應(yīng)力集中概念,一、應(yīng)力集中,由于截面急劇變化引起的應(yīng)力增大的現(xiàn)象。,· 應(yīng)力集中因數(shù),,,二、應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響,1.脆性材料,2.塑性材料,應(yīng)力集中對(duì)塑性材料在靜載作用下的強(qiáng)度影響不大，因?yàn)棣襪ax 達(dá)到屈服極限，應(yīng)力不再增加，未達(dá)到屈服極限區(qū)域可繼續(xù)承擔(dān)加大的載荷，應(yīng)力分布趨于平均。,σmax 達(dá)到強(qiáng)度極限，此位置開(kāi)裂，所以脆性材料構(gòu)件必

12、須考慮應(yīng)力集中的影響。,在交變應(yīng)力情況下，必須考慮應(yīng)力集中對(duì)塑性材料的影響。,,,§8-6 失效、許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件,一、失效與許用應(yīng)力,1. 失效：構(gòu)件不能安全正常工作。,2. 極限應(yīng)力：構(gòu)件失效前所能承受的最大應(yīng)力。,塑性材料,脆性材料,3. 許用應(yīng)力：對(duì)于一定材料制成的構(gòu)件，其工作應(yīng)力的最大容許值。,構(gòu)件失效的原因,強(qiáng)度不足剛度不足穩(wěn)定性不足工作環(huán)境、加載方式不當(dāng)?shù)?,n為構(gòu)件的安全因素,塑性材料,脆性材料,,,

13、二、拉壓桿的強(qiáng)度條件,材料的許用應(yīng)力,截面面積,截面軸力,,,,· 強(qiáng)度校核,· 截面設(shè)計(jì),· 許用載荷確定,最大工作應(yīng)力,,,例8-3：圖示桁架，已知兩桿的橫截面面積均為A = 100mm2 ，許用拉應(yīng)力[σ t]=200MPa ，許用壓應(yīng)力[σc]=150MPa 。試求載荷的最大許用值。,解：求1 、2桿的軸力,以節(jié)點(diǎn)B 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖。建立平衡方程,解得：,(拉),(壓),,,確定載荷

14、的最大許用值,1桿強(qiáng)度條件,2桿強(qiáng)度條件,所以載荷F 的最大許用值為14.14kN。,(拉),(壓),,,例8-4：圖示變截面由兩種材料制成，AE 段為銅質(zhì)，EC 段為鋼質(zhì)。鋼的許用應(yīng)力[σ]1 = 160MPa，銅的許用應(yīng)力[σ]2 = 120MPa ， AB 段橫截面面積1000mm2，AB 段橫截面面積是BC 段的兩倍，。外力F = 60kN ，作用線沿桿方向，試對(duì)此桿進(jìn)行強(qiáng)度校核。,解：⑴ 求桿的軸力，作軸力圖,AD 段：,DB

15、段：,解得：,解得：,,,⑶ 強(qiáng)度校核,所以桿件強(qiáng)度滿足要求。,⑵ 確定危險(xiǎn)截面,經(jīng)分析危險(xiǎn)截面在BC和AD 段,BC 段：,解得：,,,§8-7 胡克定律與拉壓桿的變形,一、拉壓桿的軸向變形與胡克定律,1.軸向（縱向）變形：,2.胡克定律,軸向（縱向）線應(yīng)變：,當(dāng) 時(shí)， 與 成正比關(guān)系。,胡克定律的另一表達(dá)形式,EA為桿件的拉壓剛度,胡克定律,,,,二、拉壓桿的橫向變形與泊松比,1.橫向變形,2

16、.泊松比,橫向線應(yīng)變,三、疊加原理,幾個(gè)載荷同時(shí)作用產(chǎn)生的效果，等于各載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的效果的總和。,,,例8-5：圖示鋼螺栓，內(nèi)徑d1 = 15.3mm ，被連接部分的總長(zhǎng)度l = 54mm，擰緊時(shí)螺栓AB段的伸長(zhǎng)△l = 0.04mm，鋼的彈性模量E = 200GPa，泊松比μ = 0.3。試計(jì)算螺栓橫截面上的正應(yīng)力及螺栓的橫向變形。,解：螺栓的軸向正應(yīng)變,螺栓橫截面上的正應(yīng)力,螺栓的橫向正應(yīng)變,螺栓的橫向變形,,,例8-6：圖示圓

17、截面桿，已知F = 4kN ，l1 = l2 = 100mm ，E = 200GPa 。為保證構(gòu)件正常工作，要求其總伸長(zhǎng)不超過(guò)[△l ] = 0.10mm 。試確定桿的直徑 d 。,解：,AB 段的軸力,BC 段的軸力,桿件總長(zhǎng)度改變量,,,,§8-8 簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題,未知力數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，未知力不能全部由平衡方程全部求出。,一、靜不定問(wèn)題的解法,變形協(xié)調(diào)方程（變形幾何關(guān)系）,未知力數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，未

18、知力可由平衡方程全部求出。,· 幾何關(guān)系法,靜力平衡方程（靜力關(guān)系）,物理方程（物理關(guān)系）,,（三關(guān)系法）,靜定問(wèn)題,靜不定問(wèn)題,,,例8-7：圖示結(jié)構(gòu)，已知桿1 、2 的拉壓剛度為E1A1，長(zhǎng)度為l1，3 桿的拉壓剛度為E3A3。試求桿1、2、3 的內(nèi)力。,,,解：以節(jié)點(diǎn)A 為研究對(duì)象，建立平衡方程,由變形幾何關(guān)系可得變形協(xié)調(diào)方程,由胡克定律可得,由 ⑴ ⑵ ⑶ 解得：,⑶,⑴,⑵,（1）,（2）,（3）,（4）,（1）和（

19、4）聯(lián)立求解,(A),,,二、裝配應(yīng)力,構(gòu)件制造有尺寸誤差，靜不定結(jié)構(gòu)裝配后構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生的附加應(yīng)力。,例：圖示靜不定桿系，已知桿1 、2 的拉壓剛度為E1A1 ，3 桿的拉壓剛度為E3A3 ，3 桿有誤差δ，強(qiáng)行將三桿鉸接。試求各桿的內(nèi)力。,,,解：以節(jié)點(diǎn)A 為研究對(duì)象，建立平衡方程,由變形幾何關(guān)系可得變形協(xié)調(diào)方程,由胡克定律可得,⑶,⑴,⑵,,,,,,由 ⑴ ⑵ ⑶ 解得：,⑶,⑴,⑵,,,三、溫度應(yīng)力,由于溫度的變化引起靜不定結(jié)構(gòu)中構(gòu)

20、件內(nèi)產(chǎn)生的附加應(yīng)力。,例：圖示管長(zhǎng)度為l ，橫截面面積為A ，材料彈性模量為E ，材料線膨脹系數(shù)為α ，溫度升高△t ，試求管的溫度應(yīng)力。,,,解：將管子端的約束解除，溫度升高，則伸長(zhǎng)量為,管子兩端固定，相當(dāng)于有一壓力將管子進(jìn)行壓縮，設(shè)壓力為FRB，則壓縮長(zhǎng)度為,管的總伸長(zhǎng)量為零，則,解得：,§8-9 連接部分的強(qiáng)度計(jì)算,,,一、剪切的實(shí)用計(jì)算,1.剪切概述,剪切受力特點(diǎn),兩作用力間桿件橫截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。,桿件兩側(cè)受一對(duì)大

21、小相等、方向相反、作用線相距很近的橫向力作用。,剪切變形特點(diǎn),,,3. 切應(yīng)力,4.剪切強(qiáng)度條件,,,忽略彎曲、摩擦，假設(shè)剪切面上切應(yīng)力均勻分布,2.內(nèi)力（剪力）,,剪切許用應(yīng)力,,剪切面面積,,,二、擠壓的實(shí)用計(jì)算,1. 擠壓概述,擠壓破壞,在接觸表面由于很大的壓應(yīng)力使局部區(qū)域產(chǎn)生塑性變形或破壞。,,,3. 擠壓應(yīng)力,4. 擠壓強(qiáng)度條件,有效擠壓面積Abs為實(shí)際擠壓面在垂直于擠壓方向的平面上的投影面積（接觸面為平面，有效擠壓面積為實(shí)際

22、擠壓面面積；接觸面為半圓柱曲面，有效擠壓面積為直徑平面面積）。,2. 擠壓力,,許用擠壓應(yīng)力,有效擠壓面積,,桿件與銷釘間的擠壓應(yīng)力,支座耳片與銷釘間的擠壓應(yīng)力,許用拉應(yīng)力[σt]=170MPa許用壓應(yīng)力[σc]=170MPa許用切應(yīng)力[τ]=105MPa許用擠壓應(yīng)力[σbs=100MPa],（1）桿件軸力,𝑭 𝒙 =𝟎,𝑭 𝒚 =𝟎,

23、?𝑭𝑨𝑩?𝑭𝑩𝑪( 𝟒 𝟓 )=0,𝟑 𝟓 𝑭𝑩𝑪?𝟑𝟎𝐊𝐍=𝟎,𝑭𝑨𝑩=?𝟒

24、0782; 𝐊𝐍,𝑭𝑩𝑪=𝟓𝟎 𝐊𝐍,解得,(2) 求各根桿正應(yīng)力的,BC桿中間段,BC桿耳片,AB桿中間段,(3) 連接處切應(yīng)力,銷釘C,銷釘A,銷釘B,(4) 擠壓應(yīng)力,A處，桿件與銷釘間的擠壓應(yīng)力,A處，支座耳片與銷釘間的擠壓應(yīng)力,AB桿耳片,𝑨×=(30mm)(

25、50mm-25mm)=750×10-6mm,𝝈 𝑨𝑩 𝒆𝒏𝒅 = 𝑷 𝑨 = ?𝟒𝟎𝑲𝑵 𝟕𝟓𝟎× 𝟏𝟎 ?𝟔 ⻛

26、0; 𝟐 =?𝟓𝟑.𝟑𝑴𝑷𝒂,,,例：厚度為t2 = 20mm 的鋼板，上、下用兩塊厚度為t1 = 10mm 的蓋板和直徑d = 26mm 的鉚釘連接，每邊鉚釘數(shù)n = 3。若鋼的許用應(yīng)力[τ] = 100MPa ，[σbs] = 280MPa ，[σ]= 160MPa 。試求接頭所能承受的最大許用拉力。若將蓋板厚度改為t1

27、=12mm ，則所能承受的最大拉力值是多少。,根據(jù)剪切、擠壓強(qiáng)度條件也可進(jìn)行三類強(qiáng)度問(wèn)題計(jì)算,,,⑴ 鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度,,,⑵ 鉚釘與板的擠壓強(qiáng)度,解：,,,⑶ 鋼板的拉伸強(qiáng)度,蓋板和中間板的軸力圖如圖，經(jīng)分析蓋板 1 - 1 截面為危險(xiǎn)截面,所以接頭許用載荷為313.6kN。,,,⑷ 當(dāng)t1=12mm ，鉚釘?shù)募羟?、擠壓強(qiáng)度不受影響，鋼板拉伸強(qiáng)度分別校核1 - 1 、2 – 2 、3 – 3 截面,,,所以鉚釘接頭許用載荷為318.6k

28、N。,,,例：圖示吊環(huán)由斜桿AB 、AC 與橫梁BC 組成，已知 α =20o ，吊環(huán)承受的最大吊重為F = 500kN ，許用應(yīng)力[σ] = 120MPa 。試求斜桿的直徑。,解：以節(jié)點(diǎn) A 為研究對(duì)象，受力圖及坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程,解得：,,,例：圖示結(jié)構(gòu)，桿1 、2 的彈性模量為E ，橫截面面積均為A ，梁BD 為剛體，載荷F = 50kN ，許用拉應(yīng)力[σt] = 160MPa，許用壓應(yīng)力[σc] = 120MPa ,試