工程力學(xué)11章

1、第11章 壓桿的穩(wěn)定性分析與設(shè)計(jì),穩(wěn)定性失效概念細(xì)長壓桿、屈曲失效、臨界載荷歐拉公式、長細(xì)比、臨界應(yīng)力總圖穩(wěn)定性計(jì)算，提高穩(wěn)定性的措施,桁架中的壓桿,細(xì)長桿件承受軸向壓縮載荷作用時(shí)，將會(huì)由于平衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，這種失效稱為穩(wěn)定性失效，又稱為屈曲失效。,什么是受壓桿件的穩(wěn)定性，什么是屈曲失效，按照什么準(zhǔn)則進(jìn)行設(shè)計(jì)，才能保證壓桿安全可靠地工作，這是工程常規(guī)設(shè)計(jì)的重要任務(wù)之一。,本章首先介紹關(guān)于彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定性的基本概念，包

2、括：平衡構(gòu)形、平衡構(gòu)形穩(wěn)定與不穩(wěn)定的概念以及彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)判別準(zhǔn)則。然后根據(jù)微彎的屈曲平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程以及端部約束條件，確定不同剛性支承條件下彈性壓桿的臨界力。最后，本章還將介紹工程中常用的壓桿穩(wěn)定設(shè)計(jì)方法——安全因數(shù)法。,11.1 彈性平衡穩(wěn)定性的基本概念,結(jié)構(gòu)構(gòu)件或機(jī)器零件在壓縮載荷或其它特定載荷作用下發(fā)生變形，最終在某一位置保持平衡，這一位置稱為平衡位置，又稱為平衡構(gòu)形。,11.1.1 平衡位置的穩(wěn)定

3、性和不穩(wěn)定性,承受軸向壓縮載荷的細(xì)長壓桿，有可能存在兩種平衡構(gòu)形——直線的平衡構(gòu)形、彎曲的平衡構(gòu)形。,壓桿的兩種平衡構(gòu)形,穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡,給一干擾力Q使桿微彎,受力后桿仍然維持平衡構(gòu)形,當(dāng)干擾力Q解除后，若桿件能夠恢復(fù)到原有平衡構(gòu)形——穩(wěn)定平衡。若不能夠恢復(fù)到原有構(gòu)形（仍保持平衡）——不穩(wěn)定平衡。,,判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則,不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形在任意微小的外界擾動(dòng)下，將轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌胶鈽?gòu)形。 例如，不穩(wěn)定的細(xì)長壓桿的直線

4、平衡構(gòu)形，在外界的微小擾動(dòng)下，將轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形。這一過程稱為屈曲或失穩(wěn)。 通常，屈曲將使構(gòu)件失效,并導(dǎo)致相關(guān)的結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌。由于這種失效具有突發(fā)性，常常帶來災(zāi)難性后果。,11.1.2 臨界狀態(tài)與臨界載荷,穩(wěn)定平衡構(gòu)形到屈曲（不穩(wěn)定平衡構(gòu)形）是一個(gè)過程。 介于這個(gè)過程之間的平衡構(gòu)形——臨界平衡構(gòu)形,處于臨界狀態(tài)時(shí)，桿件所受的施壓載荷稱臨界載荷，記：FPcr,或稱：“臨界狀態(tài)”,11.1.3 三種類型壓桿的臨界狀態(tài),

5、壓桿的分類：,細(xì)長桿,中長桿,粗短桿,——當(dāng)Fp≤Fpcr時(shí)不發(fā)生屈曲 當(dāng)Fp >Fpcr時(shí)容易發(fā)生彈性屈曲,——當(dāng)Fp>Fpcr時(shí)發(fā)生屈曲，但不再是彈性的,——不會(huì)發(fā)生屈曲，失效屬于強(qiáng)度破壞,三種壓桿的失效形式不同，臨界載荷當(dāng)然也各不相同。,,當(dāng)FP>FPcr時(shí)，??0，這表明當(dāng)無限接近臨界載荷時(shí)，在直線平衡構(gòu)形附近無窮小的鄰域內(nèi)存在微彎的屈曲平衡構(gòu)形。,根據(jù)這一平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程，以及端部

6、約束條件，即可確定臨界載荷。,11.2 細(xì)長壓桿的臨界載荷－－歐拉臨界力,11.2.1 兩端鉸支的細(xì)長壓桿,假設(shè)壓力FP無限接近臨界力FPcr，在外界擾動(dòng)下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡,M (x) = FP w (x),微分方程的解,w =Asinkx + Bcoskx,邊界條件,w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0,根據(jù)“線性代數(shù)”知識(shí)，上述方程中A、B的系數(shù)不全為零的條件是方程組系數(shù)行列式等于

7、零：,最小臨界載荷,由此得兩端鉸支細(xì)長桿臨界力計(jì)算公式,得到屈曲位移函數(shù),w =Asinkx + Bcoskx,其中A為未定常數(shù)。這表明屈曲位移是不確定的量。這與開始推導(dǎo)公式時(shí)假設(shè)壓桿處于任意微彎狀態(tài)是一致的。,,11.2.2 其他剛性支承細(xì)長桿臨界載荷的通用公式,壓桿的通用式——?dú)W拉公式,(11-2),式中：,ml——有效長度（相當(dāng)長度）m——長度系數(shù)（支座影響系數(shù)）EI——最小抗彎剛度,問題的提出：4根材料和直徑相同，但是長度不

8、同、支承不同的壓桿,? 能不能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算四根壓桿的臨界載荷？,? 四根壓桿是不是都會(huì)發(fā)生彈性屈曲？,11.3 長細(xì)比概念 三類不同壓桿判斷,11.3.1 長細(xì)比的定義與概念,歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。這就要求在臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構(gòu)形時(shí)，其橫截面上的正應(yīng)力小于或等于材料的比例極限,其中稱為σcr臨界應(yīng)力； σp為材料的比例極限。,能否在計(jì)算臨界載荷之前，預(yù)先判斷哪一類壓桿將發(fā)生彈性屈曲？哪一類壓

9、桿將發(fā)生超過比例極限的非彈性屈曲？哪一類不發(fā)生屈曲而只有強(qiáng)度問題？回答當(dāng)然是肯定的。為了說明這一問題，需要引進(jìn)長細(xì)比的概念。,——長細(xì)比,令：,l——桿件的柔度，又稱長細(xì)比。無量綱性質(zhì)：與約束、長度、截面尺寸及形狀相關(guān)。,用柔度表示的細(xì)長桿臨界應(yīng)力公式,11.3.2 三類不同壓桿的區(qū)分,因，屈曲在彈性范圍內(nèi)導(dǎo)出,在比例極限內(nèi)有效,令：當(dāng)材料達(dá)到比例極限時(shí)的長細(xì)比為“l(fā)p” 當(dāng)材料屈服極限時(shí)的長細(xì)比為“l(fā)s”,大柔度桿—

10、—當(dāng)?≥?p時(shí)，壓桿將發(fā)生彈性屈曲。這時(shí)，壓桿在直線平衡構(gòu)形下橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限，這類壓桿稱為大柔度桿或細(xì)長桿。,小柔度桿——當(dāng)?<?s時(shí)，壓桿不會(huì)發(fā)生屈曲，但將會(huì)發(fā)生屈服。這類壓桿稱為小柔度桿或粗短桿。,中柔度桿——當(dāng)?s≤?<?p時(shí)，壓桿也會(huì)發(fā)生屈曲。這時(shí)，壓桿在直線平衡構(gòu)形下橫截面上的正應(yīng)力已經(jīng)超過材料的比例極限，截面上某些部分已進(jìn)入塑性狀態(tài)。這種屈曲稱為非彈性屈曲。這類壓桿稱為中柔度桿或中長桿。,1

11、1.3.3 三類壓桿的臨界應(yīng)力公式,細(xì)長桿：,中長桿：,粗短桿：,l ≥ lp,lp >l ≥ ls,l < ls,(11-12),scr=a – bl,——直線公式,(11-13),(11-14),11.3.4 臨界應(yīng)力總圖與lp、ls值的確定,1）臨界應(yīng)力總圖,l ≥ lp,lp >l ≥ ls,l < ls,scr=a – bl,2）長細(xì)比值的確定,令細(xì)長桿的臨界應(yīng)力等于材料的比例極限，得,令中長桿的臨界應(yīng)

12、力等于屈服強(qiáng)度，得到,11.4 壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì),11.4.1 壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的內(nèi)容,1）安全因數(shù),*確定壓桿臨界載荷,**穩(wěn)定性校核,11.4.2 安全因數(shù)法與穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,壓桿的臨界載荷與工作的比值—— nw=Fcr/F,即：,2）穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,nw ≥ [ n ]st,(11-18),(11-17),——規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù),11.5 壓桿的穩(wěn)定性分析與設(shè)計(jì)示例,壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)過程,首先確定材料的一些性質(zhì)：E、sp、ss計(jì)算

13、長細(xì)比lp、ls限定值計(jì)算壓桿的慣性矩I、面積A、確定支承系數(shù)m計(jì)算壓桿的實(shí)際長細(xì)比，確定應(yīng)用公式選擇適合公式，計(jì)算臨界力或臨界應(yīng)力應(yīng)用穩(wěn)定性準(zhǔn)則，驗(yàn)算壓桿的穩(wěn)定性,壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)示例,例 題 11-1,兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。已知：?p=101， ?s=61.6。 試求：,2.已知： d =160 mm、 E =206 GPa ,求：二桿的臨界

14、載荷,1.分析: 哪一根壓桿的臨界載荷比較大；,判斷哪一根壓桿的臨界載荷比較大：,,從臨界應(yīng)力總圖可以看出，對(duì)于材料相同的壓桿，柔度越大，臨界載荷越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計(jì)算壓桿的柔度，柔度小者，臨界載荷大。,解： 1、計(jì)算長細(xì)比（柔度）,首先計(jì)算柔度，判斷屬于哪一類壓桿：,,由題知：Q235鋼 ?p=101， ?s=61.6,根據(jù)各桿的計(jì)算柔度比較可知，二者都屬于細(xì)長桿，采用歐拉公式計(jì)算其臨界載荷。,2、計(jì)

15、算各桿的臨界載荷,例11-2 已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300mm，Q235鋼E＝205 GPa。試求此桿的臨界載荷。,主視圖,俯視圖,解： 1、 經(jīng)分析兩個(gè)平面的支承簡化為：,主視圖,俯視圖,Iz=bh3/12，μ＝1.0,壓桿在主視圖平面內(nèi)，兩端約束為鉸支,屈曲時(shí)橫截面將繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)：,Iy=hb3/12,壓桿在俯視圖平面內(nèi)，兩端約束為固定端,屈曲時(shí)橫截面將繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)：,μ＝0.5,因此，壓桿將在主視

16、圖平面內(nèi)屈曲。,由于：,又：,所以壓桿屬于細(xì)長桿，用歐拉公式計(jì)算其臨界載荷。,例11-3 圖示結(jié)構(gòu)中，梁AB為N0.14普通熱扎工字鋼，CD桿為圓截面桿，其直徑d＝20mm，二者材料均為Q235鋼。已知：Fp＝25KN，l1=1.25m，l2=0.55m，σs=235MPa，強(qiáng)度安全因數(shù)ns=1.45,穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st=1.8。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全。,解：1、受力分析：,例11-3 圖示結(jié)構(gòu)中，梁AB為N0.14普通熱扎工

17、字鋼，CD桿為圓截面桿，其直徑d＝20mm，二者材料均為Q235鋼。已知：Fp＝25KN，l1=1.25m，l2=0.55m，σs=235MPa，強(qiáng)度安全因數(shù)ns=1.45,穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st=1.8。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全。,解：1、受力分析：由平衡條件，得：,,,,,A,B,C,,Fc,,FAy,,FAx,Fp,大梁AB在中點(diǎn)C處彎矩最大，因此該處為危險(xiǎn)截面位置，其上的彎矩和軸力分別為：,1、進(jìn)行大梁AB的強(qiáng)度校核,由型鋼表查得

18、NO.14普通熱扎工字鋼的：,拉彎組合變形校核強(qiáng)度：,Q235鋼的應(yīng)用強(qiáng)度：,σmax略大于[σ]，但不超過5%，工程上仍認(rèn)為安全。,計(jì)算CD桿的柔度λ,2、校核CD桿的穩(wěn)定性,可得：CD桿的為細(xì)長桿，用歐拉公式計(jì)算其臨界載荷。,CD桿穩(wěn)定性：,表明：CD桿的穩(wěn)定性是安全的。,11.6 結(jié)論與討論,11.6.1 穩(wěn)定性計(jì)算的重要性,1983年10月4日，北京的一幢正在施工的高層建筑的高54.2m、長17.25m、總重565.4kN大型

19、腳手架屈曲坍塌，5人死亡、7人受傷 。,? 橫桿之間的距離太大 2.2m>規(guī)定值1.7m;,? 地面未夯實(shí)，局部桿受力大；,? 與墻體連接點(diǎn)太少；,? 安全因數(shù)太低：1.11-1.75<規(guī)定值3.0。,11.6.2 影響壓桿承載能力的因素,影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素,一般情形下，控制構(gòu)件強(qiáng)度的因素主要是個(gè)別危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力、危險(xiǎn)面的幾何形狀和尺寸。,而壓桿喪失穩(wěn)定，由直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，這一

20、過程不是某個(gè)截面或某幾個(gè)截面的行為，而是壓桿的一種整體行為。,與梁的位移形成過程相似，壓桿的屈曲過程是壓桿所有橫截面彎曲變形的累加結(jié)果。所以，個(gè)別截面的削弱對(duì)于壓桿臨界載荷的數(shù)值影響不大。,11.6.3 提高壓桿承載能力的主要途徑,1）盡量減小壓桿的長度2）增強(qiáng)支承的剛度3）合理選擇截面形狀4）合理選用材料,為了提高壓桿承載能力，防止屈曲失效，必須綜合考慮桿長、支承性質(zhì)、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。,? 盡量減小壓桿長度

21、,對(duì)于細(xì)長桿，其臨界載荷與桿長平方成反比。因此，減小壓桿長度，可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小壓桿長度、提高壓桿承載能力的目的。,圖示的兩種桁架，其中的①、④桿均為壓桿，但是左圖中①、④桿的長度大于右圖中①、④桿的長度。所以，左圖中桁架的承載能力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于右圖中的桁架。,?改變壓桿的約束條件,增強(qiáng)支承的剛性,支承的剛性越大，壓桿長度系數(shù)μ值越低，臨界載荷也就越大。例如，將兩端鉸支的細(xì)長桿，

22、變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將成數(shù)倍增加。,m值：兩端固定0.5> 一固一鉸0.7>兩鉸1.0>自由2.0,? 合理選擇截面形狀,當(dāng)壓桿兩端在各個(gè)方向上都具有相同的約束條件時(shí)，壓桿將在剛度最小的主軸平面內(nèi)屈曲。這時(shí)如果只增加截面某個(gè)方向的慣性矩，并不能提高壓桿的承載能力。 對(duì)于一定的橫截面面積，正方形截面或圓截面比矩形截面好；空心正方形或圓環(huán)形截面比實(shí)心截面好。,A實(shí)=A空，I

23、實(shí)≤I空,當(dāng)壓桿端部在不同的方向上具有不同的約束條件時(shí)，應(yīng)采用最大與最小主慣性矩不等的截面（例如矩形截面），并使壓桿在慣性矩較小的方向具有較剛性的約束，盡量使壓桿在兩個(gè)主慣性矩方向的柔度相互接近。,? 合理選用材料,在其他條件均相同的情形下，選用彈性模量E數(shù)值大的材料，可以提高大柔度壓桿的承載能力。 對(duì)于細(xì)長鋼制壓桿，若選用高強(qiáng)度鋼，對(duì)壓桿臨界載荷的影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費(fèi)。但是，對(duì)于粗短桿或中長桿。其臨界

24、載荷與材料的比例極限和屈服強(qiáng)度有關(guān)，這時(shí)選用高強(qiáng)度鋼會(huì)使臨界載荷有所提高。,正確地進(jìn)行受力分析，準(zhǔn)確地判斷結(jié)構(gòu)中哪些桿件承受壓縮載荷，對(duì)于這些桿件必須按穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算或穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。,微型鋼制圓軸，在室溫下安裝，這時(shí)軸既不沿軸向移動(dòng)，也不承受軸向載荷，當(dāng)溫度升高時(shí)，軸和機(jī)架將同時(shí)因熱膨脹而伸長，但二者材料的線膨脹系數(shù)不同，而且軸的線膨脹系數(shù)大于機(jī)架的線膨脹系數(shù)。請(qǐng)大家分析，當(dāng)溫度升高時(shí)，軸有沒有穩(wěn)定問題？,11.6.4 穩(wěn)定

25、性計(jì)算中的幾個(gè)重要問題,要根據(jù)壓桿端部約束條件以及截面的幾何形狀，正確判斷可能在哪一個(gè)平面內(nèi)發(fā)生屈曲，從而確定歐拉公式中的截面慣性矩，或壓桿的柔度。,兩端球鉸約束細(xì)長桿的各種可能截面形狀，請(qǐng)讀者自行分析，壓桿屈曲時(shí)橫截面將繞哪一根軸轉(zhuǎn)動(dòng)？,確定壓桿的柔度，判斷屬于哪一類壓桿，采用合適的臨界應(yīng)力公式計(jì)算臨界載荷。,根圓軸截面壓桿，若材料和圓截面尺寸都相同，請(qǐng)大家判斷哪一根桿最容易失穩(wěn)？哪一根桿最不容易失穩(wěn)？,應(yīng)用穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行穩(wěn)定安全

26、校核或設(shè)計(jì)壓桿橫截面尺寸。,設(shè)計(jì)壓桿的橫截面尺寸時(shí)，由于截面尺寸尚未已知，故無從計(jì)算柔度以及臨界載荷。這種情形下，可先假設(shè)一截面尺寸，算得柔度和臨界載荷，再校核穩(wěn)定設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是否滿足，若不滿足則需加大或減小截面尺寸，再行計(jì)算，一般經(jīng)過幾次試算后即可達(dá)到要求。,要注意綜合性問題，工程結(jié)構(gòu)中往往既有強(qiáng)度問題叉有穩(wěn)定問題；或者既有剛度問題，又有穩(wěn)定問題。有時(shí)穩(wěn)定問題又包含在超靜定問題之中。,這一結(jié)構(gòu)中，哪一根桿會(huì)發(fā)生屈曲？其臨界載荷又如何確定？