高中數(shù)學(xué)求軌跡方程的六種常用技法

1、求軌跡方程的六種常用技法求軌跡方程的六種常用技法軌跡方程的探求是解析幾何中的基本問(wèn)題之一，也是近幾年來(lái)高考中的常見(jiàn)題型之一。學(xué)生解這類問(wèn)題時(shí)，不善于揭示問(wèn)題的內(nèi)部規(guī)律及知識(shí)之間的相互聯(lián)系，動(dòng)輒就是羅列一大堆的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)行無(wú)目的大運(yùn)動(dòng)量運(yùn)算，致使不少學(xué)生喪失信心，半途而廢，因此，在平時(shí)教學(xué)中，總結(jié)和歸納探求軌跡方程的常用技法，對(duì)提高學(xué)生的解題能力、優(yōu)化學(xué)生的解題思路很有幫助。本文通過(guò)典型例子闡述探求軌跡方程的常用技法。1直接法直接法根據(jù)

2、已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。例1已知線段，直線相交于，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)6?ABBMAMM49的軌跡方程。M解：以所在直線為軸，垂直平分線為軸建立坐標(biāo)系，則，ABxABy(30)(30)AB?設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的斜率，直線的M()xyAM(3)3AMykxx????BM斜率(3)3AMykxx???由已知有4(3)339yyxxx?

3、?????化簡(jiǎn)，整理得點(diǎn)的軌跡方程為M221(3)94xyx????練習(xí)：1平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為2，則點(diǎn)的軌跡P(100)F4x?P方程是。2設(shè)動(dòng)直線垂直于軸，且與橢圓交于、兩點(diǎn)，是上滿足lx2224xy??ABPl的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程。1PAPB??????????P3.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（）A直線B橢圓C拋物線D雙曲線2定義法定義法通過(guò)圖形的幾何

4、性質(zhì)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運(yùn)用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理。例2若為的兩頂點(diǎn)，和兩邊上的中線長(zhǎng)之和是，(80)(80)BC?ABC?ACAB30則的重心軌跡方程是_______________。ABC?的軌跡方程。M6已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)能否作一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，使2212yx??(11)PlAB

5、為線段的中點(diǎn)？PAB4轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法求曲線方程時(shí)一般有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)是主動(dòng)的，另一個(gè)是次動(dòng)的。當(dāng)題目中的條件同時(shí)具有以下特征時(shí)，一般可以用轉(zhuǎn)移法求其軌跡方程：①某個(gè)動(dòng)點(diǎn)在已知方程的曲線上移動(dòng)；P②另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨的變化而變化；MP③在變化過(guò)程中和滿足一定的規(guī)律。PM例4已知是以為焦點(diǎn)的雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的重心P12FF221169xy??12FFP?G的軌跡方程。解：設(shè)重心，點(diǎn)，因?yàn)?)Gxy00()Pxy12(40)(40)FF?則有

6、，故代入??????????????30003044yyxx?????yyxx303019201620??yx得所求軌跡方程2291(0)16xyy???例5拋物線的焦點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線、兩點(diǎn)再以24xy?F(01)?lAB、為鄰邊作平行四邊形，試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。AFBFAFBRR解法一：（轉(zhuǎn)移法）設(shè)，∵，∴平行四邊形的中心為()Rxy(01)FAFBR，1()22xyP?將，代入拋物線方程得，1ykx??2440xkx???設(shè)，