高中數(shù)學(xué)求函數(shù)值域的方法十三種

1、第1頁共23頁高中數(shù)學(xué)：求函數(shù)值域的十三種方法高中數(shù)學(xué)：求函數(shù)值域的十三種方法1、觀察法（觀察法（☆）2、配方法（配方法（☆）3、分離常數(shù)法（分離常數(shù)法（☆）4、反函數(shù)法（反函數(shù)法（☆）5、判別式法（判別式法（☆）6、換元法（換元法（☆☆☆☆☆☆）7、函數(shù)有界性函數(shù)有界性8、函數(shù)單調(diào)性法（函數(shù)單調(diào)性法（☆）9、圖像法（數(shù)型結(jié)合法）（圖像法（數(shù)型結(jié)合法）（☆）10、基本不等式法基本不等式法11、利用向量不等式利用向量不等式12、一一映射法

2、一一映射法13、多種方法綜合運(yùn)用多種方法綜合運(yùn)用一、觀察法一、觀察法：從自變量從自變量的范圍出發(fā)，推出的范圍出發(fā)，推出的取值范圍。的取值范圍。x()yfx?【例1】求函數(shù)的值域。1yx??【解析】∵，∴，∴函數(shù)的值域為。0x?11x??1yx??[1)??【例2】求函數(shù)x1y?的值域?！窘馕觥俊?x?∴0x1?顯然函數(shù)的值域是：)0()0(?????【例3】已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域。??112???xy??2101??x【解析】因為，而

3、，，所以：??2101??x????331???ff????020??ff??11??f??301??y注意：求函數(shù)的值域時，不能忽視定義域，如果該題的定義域為，則函數(shù)的值域為。Rx???1|??yy二二配方法：配方法式求配方法：配方法式求“二次函數(shù)類二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如值域的基本方法。形如的函數(shù)的函數(shù)2()()()Fxafxbfxc???的值域問題，均可使用配方法。的值域問題，均可使用配方法?！纠?】求函數(shù)的值域。225[

4、12]yxxx?????【解析】將函數(shù)配方得：∵由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1∈[12]時，，當(dāng)時，故函數(shù)的值域是：[4，8]【變式變式】已知，求函數(shù)的最值。第3頁共23頁，?min()(2)5gtg???max()(3)10gtg???【例3】已知，當(dāng)時，求的最大值2()22fxxx???[1]()xttt???R，()fx【解析】由已知可求對稱軸為1x?（1）當(dāng)時，1t?22minmax()()23()(1)2fxftttfxftt

5、?????????，（2）當(dāng)，即時，11tt?≤≤01t≤≤根據(jù)對稱性若即時，，2121???tt102t≤≤2max()()23fxfttt????若即時，2121???tt112t?≤2max()(1)2fxftt????（3）當(dāng)即時，11t??0t?2max()()23fxfttt????綜上，?????????????2132212)(22maxtttttxf觀察前兩題的解法，為什么最值有時候分兩種情況討論，而有時候又分三種情況

6、討論呢？這些問題其實仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉區(qū)間的端點或二次函數(shù)的頂點取到。第一個例題中，這個二次函數(shù)是開口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個端點或二次函數(shù)的頂點都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點，只可能是閉區(qū)間的兩個端點，哪個端點距離對稱軸遠(yuǎn)就在哪個端點取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點與左右端點的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個理解，不難解釋第二個例