2017高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題

1、三、值域問題三、值域問題例4.4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，f(xy)=f(x)f(y)總成立，且存在使得，求函數(shù)f(x)的值域。21xx?)()(21xfxf?解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，則f(x)=f(0x)=f(x)f(0)=0恒成立，這與存在實數(shù)，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有21xx?)()(21xfxf?f(0)=1。由于f(xy)=f(x)f(y)對任意實數(shù)x

2、、y均成立，因此，0)2()(2????????xfxf又因為若f(x)=0則f(0)=f(xx)=f(x)f(x)=0與f(0)≠0矛盾所以f(x)0.四、求解析式問題（四、求解析式問題（換元法，換元法，解方程組，解方程組，待定系數(shù)法，遞推法，區(qū)間轉(zhuǎn)移法，待定系數(shù)法，遞推法，區(qū)間轉(zhuǎn)移法，例6、設(shè)對滿足x≠0x≠1的所有實數(shù)x，函數(shù)f(x)滿足求??xxxfxf??????????11f(x)的解析式。解:（2）(1)1)x0(xx1)

3、x1x(f)x(f??????且?12)11()1(:x1xxxxfxxfx?????得代換用（3）:)1(x11得中的代換再以x.12)()x11f(xxxf????1)x0(xx2x21xx)x(f:2)2()3()1(223????????且得由例8.是否存在這樣的函數(shù)f(x)使下列三個條件:①f(n)0n∈N②f(n1n2)=f(n1)f(n2)n1n2∈N③f(2)=4同時成立若存在求出函數(shù)f(x)的解析式；若不存在，說明理由

4、.解:假設(shè)存在這樣的函數(shù)f(x)滿足條件得f(2)=f(11)=4解得f(1)=2.又f(2)=4=22f(3)=23…由此猜想:f(x)=2x(x∈N)小結(jié)：對于定義在正整數(shù)集N上的抽象函數(shù)用數(shù)列中的遞推法來探究，如果給出的關(guān)系式具有遞推性，也常用遞推法遞推法來求解.練習(xí)：練習(xí)：1、.232|)x(f:|x)x1(f2)x(f))x(fx()x(fy????求證且為實數(shù)即是實數(shù)函數(shù)設(shè)解:，02)x(xf3xx1)x(f2)x1(fxx

5、12?????與已知得得代換用.232|)x(f|024)x(9f02???????得由3、函數(shù)f(x)對一切實數(shù)xy均有f(xy)f(y)=(x2y1)x成立，且f(1)=0，（1）求的值；(0)f（2）對任意的，，都有f(x1)21時f(x)f(x2)故f(x)在R上為減函數(shù).1)xx(f)x(f)x(f)xx(f)x(f)xxx(f)x(f)x(f121112111212??????練習(xí)練習(xí)6、.已知函數(shù)()fx的定義域為??01

6、，且同時滿足：(1)對任意??01x?，總有()2fx?；(2)(1)3f?，(3)若1200xx??且121xx??，則有1212()()()2fxxfxfx????.(I)求(0)f的值；(II)求()fx的最大值；(III)設(shè)數(shù)列??na的前n項和為nS，且滿足12(3)nnSanN????.求證：123112332()()()()2nnfafafafan??????????.解：（I）令120xx??，由(3)則(0)2(0)2

7、(0)2fff????，由對任意??01x?，總有()2(0)2fxf???（II）任意??1201xx?且12xx?，則212101()2xxfxx??????22112111()()()()2()fxfxxxfxxfxfx?????????max()(1)3fxf???(III)12(3)()nnSanN?????1112(3)(2)nnSan???????1111133(2)10nnnnaanaa??????????1111121

8、13333333()()()()()23()4nnnnnnnnfafffff???????????111143333()()nnff????，即11433())(nnfafa???。22112211414414444112133333333333()()()()2nnnnnnnfafafafa???????????????????????故113()2nnfa???1213131()1()()()2nnfafafan?????????即

9、原式成立。六、奇偶性問題六、奇偶性問題解析：函數(shù)具備奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱，再考慮f(x)與f(x)的關(guān)系（2）已知y=f(2x1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(2x)的圖象的對稱軸是（D）A.x=1B.x=2C.x=－D.x=2121解析：f(2x1)關(guān)于x=0對稱則f(x)關(guān)于x=1對稱故f(2x)關(guān)于2x=1對稱.注：若由奇偶性的定義看復(fù)合函數(shù)，一般用一個簡單函數(shù)來表示復(fù)合函數(shù)，化繁為簡。F（x）=f(2x1)為偶函數(shù)，則f(