【包哥數(shù)學】高中數(shù)學--抽象函數(shù)專題

1、包哥數(shù)學百度文庫笑傲高數(shù)=興趣正確的學習方法【包哥數(shù)學】抽象函數(shù)專題抽象函數(shù)簡介抽象函數(shù)簡介抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式只給出它的一些特征、性質或一些特殊關系式的函數(shù)，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力。抽象函數(shù)一些模型抽象函數(shù)一些模型根據(jù)抽象函數(shù)的一些性質，聯(lián)想到所學的基本初等函數(shù)模型，將抽象具體化，有助于分析問題。抽象函數(shù)f(x)具有的性質聯(lián)想到的函數(shù)模型f(x1x2)=f(

2、x1)f(x2)f(x1x2)=f(x1)f(x2)正比例函數(shù)模型：f(x)=kx(k≠0)f(x1x2)=f(x1)f(x2)f(x1x2)=f(x1)f(x2)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)=(a0且a≠1)f(x1x2)=f(x1)f(x2)f(x1x2)=f(x1)f(x2)(x1x2∈R)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)=(a0且a≠1)log例題：例題：例1：f(x)在R上是增函數(shù)，且f(x)=f()f(y)若f(3)=1f(x)－f()≥2

3、，求x的范yx51?x圍。例2：設函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意實數(shù)m、n，總有f(mn)=f(m)f(n)，且x0時，01（2）證明：f(x)在R上單調遞減；（3）設A=｛(xy)│f(x2)f(y2)f(1)B=｛(xy)│f(axy2)=1a∈R｝，若A∩B=?，確定a的范圍。抽象函數(shù)的對稱性（中心對稱、軸對稱）和周期性抽象函數(shù)的對稱性（中心對稱、軸對稱）和周期性①先深刻理解奇函數(shù)，偶函數(shù)概念①先深刻理解奇函數(shù)，偶函數(shù)概念②方

4、法：用哪個數(shù)代替②方法：用哪個數(shù)代替x一、抽象函數(shù)的對稱性抽象函數(shù)的對稱性定理定理1.若函數(shù)y=f(x)定義域為R，且滿足條件：f(ax)=f(b－x)，則函數(shù)y=f(x)的圖包哥數(shù)學百度文庫笑傲高數(shù)=興趣正確的學習方法命題命題2：若a、b()是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之a(chǎn)b?一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).(1)函數(shù)y=f(x)滿足f(xa)=f(xb)，則f(x)是周期函數(shù)，且|ab|是它的一個周

5、期.(2)函數(shù)圖象關于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|ab|是它的一個周期.(3)函數(shù)圖象關于點M(a0)和點N(b0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|ab|是它的一個周期.(4)函數(shù)圖象關于直線x=a，及點M(b0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且4|ab|是它的一個周期.命題命題3：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).(1

6、)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.(2)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4a是它的一個周期.我們也可以把命題3看成命題2的特例命題3中函數(shù)奇偶性、對稱性與周期性中已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.下面證明命題3（1），其他命題的證明基本類似.設條件A:定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù).條件B:f(x)關于x=a對

7、稱條件C:f(x)是周期函數(shù)且2a是其一個周期.結論:已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.證明:①已知A、B→C（2001年全國高考第22題第二問）∵f(x)是R上的偶函數(shù)∴f(x)=f(x)又∵f(x)關于x=a對稱∴f(x)=f(x2a)∴f(x)=f(x2a)∴f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期②已知A、C→B∵定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù)∴f(x)=f(x)又∵2a是f(x)一個周期∴f(x)=f(x2a)∴f(x)

8、=f(x2a)∴f(x)關于x=a對稱③已知C、B→A∵f(x)關于x=a對稱∴f(x)=f(x2a)又∵2a是f(x)一個周期∴f(x)=f(x2a)∴f(x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函數(shù)由命題3(2)，我們還可以得到結論:f(x)是周期為T的奇函數(shù)，則f()=02T【f(xT)=f(x)，令x=T2，f(T2)=f(T2)，f(x)為奇函數(shù)所以f(T2)=f(T2)=f(T2)則2f(T2)=0f(T2)=0】基于上述命題闡述