概率論練習(xí)題

1、第一次 1某人射擊目標(biāo)3次,記Ai={第i次擊中目}(i=1,2,3),用A1, A2, A3表示下列事件（1） 僅有一次擊中目標(biāo) （2）至少有一次擊中目標(biāo) （3）第一次擊中且第二三次至少有一次擊中 （4） 最多擊中一次,（1）,（2）,（3）,（4）,,2 袋中有紅球，白球，從中抽取三次，每次抽去一個，取出后不放回記Ai={第i次抽出紅球}（i=1,2,3）,用A1, A2, A3表示下列事件 （1）前兩次都取紅球（2

2、）至少有一次取紅球 （3）第二次取白球 （4）恰有兩次取紅球 （5） 后兩次至多有一次取紅球 .,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,3 隨機(jī)抽查三件產(chǎn)品，A={三件中至少有一件廢品} B={三件中至少有二件廢品} C={三件正品}，問,,,各表示什么事件（用文字描述）,解,----- 三件產(chǎn)品全為正品,-----三件中至多一件廢品,----恰有一件廢品,4 下列各式是否成

3、立 （1)（A-B)+B=A （2） (A+B)-C=A+(B-C）,,,5 下列各式說明什么關(guān)系？ .（1） AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A,解,第2次 1 罐中有圍棋子8白子4黑子，今任取3子 ，求下列事件的概率 (1) 全是白子 (2) 取到2黑子1白子 （3）至少有一顆黑子

4、 .,,取3子,解,A= { 全是白子} B={ 取到2黑子1白子} C={至少有一顆黑子},,,,,2 從1至200的正整數(shù)中任取一數(shù),求此數(shù)能被6或8整除的概率,解,A={此數(shù)能被6整除} B={此數(shù)能被8整除},,=,,3 從一副撲克牌的13張紅桃中,一張接一張有放回抽取3次,求 (1) 三張?zhí)柎a不同的概率 . (2) 三張中有相同號碼的概率

5、 .,解,A={三張?zhí)柎a不同} B={三張中有相同號碼},,,4 袋中有9紅球3白球,任取5球,求(1) 其中至少有1個白球的概率(2) 其中至多有2個白球的概率,解,A={ 其中至少有1個白球} B= {其中至多有2個白球},,5設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)=0.5 P(B)=0.4 P(A+B)=0.8 求 (1),(2),,解,6 設(shè),, 求證,證明,,,第三次,1 袋中有3紅球2白球,不放回地抽取2次,每次取

6、一個,求(1) 第二次取紅的概率 (2) 已知第一次取白球,求第二次取紅球的概率,解,Ai={ 第i次取紅球} (i=1,2),,,,2 袋中有3紅球2白球,抽取3次,每次取一個,取出后不放回,再放入與取出的球顏色相同的兩個球, 求 連續(xù)3次取白球的概率,解,Ai={第i次取白球} （i=1，2，3）,,3 10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品（1）不放回地每次從中取一個，共取三次，求取到3件次品的概率 （2）有放回地每次從中

7、取一個，共取三次，求取到3件次品的概率 .,解,Ai={第i次取次品} （i=1，2，3）,（1）,（2）,4 100件產(chǎn)品中有10件次品90件正品，每次取1件，取后不放回，求第三次才去到正品的概率,解,Ai={第i次取正品} （i=1，2，3）,,5 某人有一筆資金,他投入基金的概率為0.58,買股票的概率為0.28,兩項同時投入的概率為0.19, 求(1)已

8、知他買入基金的條件下,他再買股票的概率 (2) 已知他買入股票的條件下,他再買基金的概率,解,,（2）,,A={買基金} B={買股票},（1）,6 某廠有編號為1,2,3的三臺機(jī)器生產(chǎn)同種產(chǎn)品,其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%, 35% 40%,次品率分別為5%,4% 2%,今從總產(chǎn)品中取一件 (1) 產(chǎn)品為次品的概率 (2) 若抽取的為次品求它是編號為2的機(jī)器生產(chǎn)的概率,解,Ai（i=1，2，3）B={任取一件產(chǎn)品為次品},

9、(1),,(2),第四次,1 設(shè)P(A)=0.4, P(A+B)=0.7在下列條件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B獨立,解,(1) A,B互不相容,,,(2)A,B獨立,,2 設(shè)P(A)=0.3, P(A+B)=0.6在下列條件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B獨立 (3),解,(1) A,B互不相容,,,(2)A,B獨立,,,,3 兩種花籽，發(fā)芽率分別為0.8，0.9 ， 從中各取

10、一粒，設(shè)花籽發(fā)芽獨立，求（1）兩顆都發(fā)芽的概率 （2）至少有一顆發(fā)芽的概率（3）恰有一顆發(fā)芽的概率 .,解,A={第一種花籽發(fā)芽} B={第二種花籽發(fā)芽},(1),(2),(3),4 甲,乙,丙三人獨自破譯某個密碼,他們各自破譯的概率是1/2,1/3,1/4,求密碼被破譯的概率,解,A={密碼被甲破譯} B={密碼被乙破譯

11、} C={密碼被丙破譯},{密碼被破譯}=A+B+C,,,5 加工某零件要經(jīng)過第一 ,第二 ,第三 ,第四道工序,次品率分別為2%, 3% ,4% ,5% ,各道工序獨立,求加工出來的零件為次品的概率,解,Ai={第i道工序出次品} ( i=1,2,3,),B={加工出來的零件為次品},,,6 3次獨立重復(fù)試驗,事件A至少出現(xiàn)一次的概率為,,求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率,解,,A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為p,X表示3次實驗中A出現(xiàn)的次數(shù)

12、,則X~B(3,p),1 判斷是否為分布表,第五次,解,,等比數(shù)列求和公式為,,所以此表不是分布表,2 已知離散型隨機(jī)變量的分布律如下,求常數(shù)a=?,(1),(2),m=0,1,2,3…,m=1,2,3…25,解 (1),(2)注意到:,3 袋中有2紅球4白球,取3球,求取到的紅球數(shù)X的分布律 .,解,4 某人有6發(fā)子彈,

13、射擊一次命中率為0.8 ,如果命中了就停止射擊,否則一直到子彈用盡,求耗用子彈數(shù)Y的分布律 .,解,5 有一大批產(chǎn)品的次品率為0.006,現(xiàn)從中抽取500件,求其中只有4件次品的概率 .,解,X------抽取500件中的次品數(shù),則 X~B(500,0.006）,6 一本合訂本

14、100頁，平均每頁上有2個印刷錯誤，假定每頁上的錯誤服從泊松分布,計算合訂本各頁錯誤都不超過4個的概率 .,解,Xi-----合訂本第i頁錯誤, 則,A={合訂本各頁錯誤都不超過4個},第六次,1 若a在(1,6)上服從均勻分布，求x2+ax+1=0有實根的概率,解,x2+ax+1=0有實根的充要條件是:,即: a≤-2 或a≥2,P{ a≤-2 或a≥2},a在(1,6)上服從均勻分布,,2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,(1)求

15、常數(shù)C (2) P{0.4<X<0.6}(3)若,,求a,(4) 若,,求b,解,(1) c=2,(2),(3),,,,(4),顯然 0<b<1,,3 已知,求 (1),(2),(3),解,(2),(3),(1),4設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,(1) 求常數(shù)C (2),解,(2),(1),5,,且,求,解,,,顯然,,,,,,6 設(shè)最高洪水水位X有概率密度為:,今要修建河堤能防100年一遇的洪水(即:遇到的概率不超

16、過0.01),河堤至少要修多高?,解,設(shè)河堤至少要修H米,,,X---連續(xù)型隨機(jī)變量 ,則P{X=a}=0 但{X=a}不是不可能事件 .,7 簡答題 (1) 隨機(jī)變量X在閉區(qū)間[a,b]上取每個值得概率均相等,則X服從均勻分布,對嗎? (2) 概率為0的事件即為不可能事件,對嗎?,注意到連續(xù)型隨機(jī)變量在每點上的概率為0,解,(1) 不對,(2) 不對,1 設(shè)隨機(jī)變量X為分布表,第7次,,,X,P,-

17、1 2 4,1/4,1/2,1/4,求X的分布函數(shù)F(x),并繪圖,解,,=,2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,求 (1) 概率密度函數(shù) (2) (3),解 (1),(2),,(3),,3設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,(1) 求X的分布函數(shù)F(x),并繪圖 (2),,,解 注意F(x)連續(xù)且,,,4 設(shè)隨機(jī)變量X為分布表,,,X,P,求下列隨機(jī)變量的分布律(1),(2),解,5 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,

18、求 X的分布律,解,6設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求,的概率密度,解法一,解法二,,單調(diào)上升 ，,其反函數(shù)為,,1 從1,2,3,4,5中任取3個數(shù),設(shè)X,Y分別是這三個數(shù)中的最大數(shù) 與最小數(shù),求(X,Y) 的聯(lián)合分布律,第８次,解,1,2,3,3,4,5,Y,X,2 (X,Y)的分布律如下,,問X與Y是否獨立?,X,y,0,1,0,1,2,解,,,X與Y不獨立,,,3 (X,Y)的分布律如下,,且X與Y獨立,求a=? b=?,解

19、,,,X與Y獨立,,,,,或,4 (X,Y)的分布律如下,求分布律,,,X,y,0,1,-1,0,1,解,-1,0,1,2,-1,0,1,5 設(shè)X與Y各自的分布律為,且X與Y獨立,求X+Y的分布律,解,2,3,4,1/4,2/4,1/4,1 設(shè)隨機(jī)變量X為分布表,第9次,,,X,P,-1 0 0.5 1 2,1/3,1/6,1/6,1/12,1/4,求（１）,（2）,解,,,2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密

20、度為,求（１）,（2）,解,3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,求(1) EX,（2) E(3X+5),解,,,4 對圓的直徑作測量,設(shè)其值均勻地分布在區(qū)間[a,b]內(nèi),求圓面積的期望,解,X-----直徑,則X~U[a, b],,5 按規(guī)定某車站每天8:00---9:00, 9:00---10:00恰有一輛客車到站,各車到站的時刻是隨機(jī)的,且相互獨立,其規(guī)律為,(1) 旅客8:00到站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望 (2) 旅客8:20到

21、站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望,解,(1) 旅客8:00到站 X----表示候車時間， 則,,,5 按規(guī)定某車站每天8:00---9:00, 9:00---10:00恰有一輛客車到站,各車到站的時刻是隨機(jī)的,且相互獨立,其規(guī)律為,(1) 旅客8:00到站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望 (2) 旅客8:20到站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望,解,(2) 旅客8:00到站 X----表示候車時間， 則,,1 設(shè)隨機(jī)變量X為分布表,第10次,,,X,

22、P,0 1 2 3 4,0.1 0.2 0.1 0.4 0.2,求(1) D(-X) (2) D(2X+3),解,,,,,,2 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求(1)k=? (2),解,,,,,,,(3) EX DX (4) E(3X+2) D(-3X+2),,,3 設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}求 EX,DX,解,,,4 設(shè)隨機(jī)變量,求Y=3X的

23、概率密度函數(shù),解,Y=3X也是正態(tài)分布,且 EY=6 DY=81,,5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,,已知EX=2, P{1<X<3}=3/4, 求a,b,c,解,,,,1 (X,Y)的分布律如下,第12次,求(1) E(X+Y) (2) E(XY),解,,,2 (X,Y)的分布律如下,求(1),(2),解,,,,,,3 設(shè)X,Y為兩個隨機(jī)變量,且,, DX=1 DY=2 求,,解,,,,,,,4 設(shè)隨機(jī)變量X,

24、Y,相互獨立,且都服從正態(tài)分布,,記,( 常數(shù),)求 (1),(2),,解,,,,,,第13次,1 在總體,中抽取樣本,指出,(,已知,,未知)，,哪些是統(tǒng)計量?,解,是統(tǒng)計量,2 給定樣本觀測值 92,94,103,105,106求樣本均值和方差,解,,=42.5,3 在總體,求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率,中隨機(jī)抽取容量為5的樣本，,,解,,,=0.2628,4已知,,求(1),（2）若,求,,,,,,解,,

25、,,,5 已知,，求（1）,，,（2）若,求,（3）若,求,解 （1）,,,（2）,（3）,,6設(shè)總體,則容量n應(yīng)取多大,才能使得,,,是X的樣本,,,解,,,,,,,,所以 n最小為35,第14次,1 從某正態(tài)總體X取得樣本觀測值： 14.7,15.1,14.8,15.0,15.2 ,14.6 ,用矩法估計總體均值μ 方差σ2,解,,,,2總體x的密度為,樣本為,,求θ 的矩法估計量,解,3總體x的密度為,樣本為,求θ 的矩法估

26、計量,解,4 為總體 的樣本,證明,,,,,,均為總體均值μ的無偏估計量,證明,,,,第14次,1總體,樣本觀測值為,22.3 21.5 20.0 21.8 21.4,求(1)σ=0.3時,μ的置信度為0.95的置信區(qū)間,,(2)σ2未知時,μ的置信度為0.95的置信區(qū)間,,解,,,所以μ置信區(qū)間為(21.37 , 21.66),,,所以μ置信區(qū)間為(20.336, 22.46

27、4),第14次,2總體,樣本觀測值16個.得樣本均值為20.8,標(biāo)準(zhǔn)差為1.6,求μ的置信度為0.95的置信區(qū)間,,解,所以μ置信區(qū)間為(19.948, 21.652),3 總體,樣本觀測值為,510,485,505,505,490,495,520,515,求(1)σ=8.6時,μ的置信度為0.9的置信區(qū)間,,(2)σ2未知時,μ的置信度為0.95的置信區(qū)間,,解,,,所以μ置信區(qū)間為(498.13, 505.20),所以μ置信區(qū)間為

28、(492.253, 511.0809),490,4 設(shè)某種電子管的使用壽命服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)抽取16個進(jìn)行檢驗,得平均壽命1950小時,標(biāo)準(zhǔn)差為S=300小時,試求95%的可靠性求出整批電子管的平均使用壽命和方差的置信區(qū)間 .,解,所以μ置信區(qū)間為(1790.138, 2109.863),(2) 方差s2的置信區(qū)間,方差s2的置信區(qū)間為（49112.34，215586.1）,1

29、 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量(%)正常情況下服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)鐵水含碳量為4.3,若已知標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.108,現(xiàn)測量五爐鐵水,其含碳量分別為4.28, 4.4, 4.42, 4.35, 4.37 (%)問這些鐵水是否合格?(顯著性水平為 α=0.05 ) .,第15次,1 提出待檢驗的假設(shè),H0 ： m= 4.3,解,2 選取檢驗統(tǒng)計量,若假設(shè)成立,~

30、 N(0, 1),3 對于給定的檢驗水平a ，確定接受域,∵a =0.05,查表可得Za/2 =,∴H0的接受域為,1.96,4 計算統(tǒng)計量U的值,≈1.325,∴接受原假設(shè) H0 ： m= 4.3,均值的檢驗（方差已知）,2 正常人的脈搏平均為72次/分,現(xiàn)測得10名病人脈搏數(shù)據(jù)如下54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69 問患者脈搏與正常人的脈搏有無顯著差異(顯著性水平α=0.05

31、 ),均值的檢驗（方差未知）,1 提出待檢驗的假設(shè),H0 ： m= 72,解,2 選取檢驗統(tǒng)計量,若假設(shè)成立,~ t(9),3 對于給定的檢驗水平a ，確定接受域,∵a =0.05,查表可得ta/2(9) =,∴H0的接受域為,2.26,4 計算統(tǒng)計量U的值,≈-2.45,∴拒絕原假設(shè) H0 ： m= 72,3 某機(jī)器生產(chǎn)的墊圈厚度 ,為確定機(jī)器是否正常,從它生產(chǎn)的墊圈中抽取9個,算得平均厚度

32、為1.6cm,標(biāo)準(zhǔn)差為0.1cm,檢驗機(jī)器是否正常 (1) 顯著性水平為α=0.05 (2) 顯著性水平為α=0.01,,均值的檢驗（方差未知）,1 提出待檢驗的假設(shè),H0 ： m= 1.5,解,2 選取檢驗統(tǒng)計量,若假設(shè)成立,~ t(8),3 對于給定的檢驗水平a ，確定接受域,∵a =0.05,查表可得ta/2(8) =,∴H0的接受域為,2.306,4 計算統(tǒng)計量U的值,=3,∴拒絕原假設(shè) H0 ： m= 1.

33、5,3 某機(jī)器生產(chǎn)的墊圈厚度 ,為確定機(jī)器是否正常,從它生產(chǎn)的墊圈中抽取9個,算得平均厚度為1.6cm,標(biāo)準(zhǔn)差為0.1cm,檢驗機(jī)器是否正常 (1) 顯著性水平為α=0.05 (2) 顯著性水平為α=0.01,,均值的檢驗（方差未知）,1 提出待檢驗的假設(shè),H0 ： m= 1.5,解,2 選取檢驗統(tǒng)計量,若假設(shè)成立,~ t(8),3 對于給定的檢驗水平a ，確定接受域,∵a =0.01,查

34、表可得ta/2(8) =,∴H0的接受域為,3.3554,4 計算統(tǒng)計量U的值,=3,∴接受原假設(shè) H0 ： m= 1.5,1 設(shè)總體 樣本觀測值為1.34 1.41 1.38 1.39 1.38 1.41 1.37 1.38 1.34 1.40 是否認(rèn)為 ( 顯著性水平為α=0.05),1 提出待檢驗的假設(shè),解,2 選取檢驗統(tǒng)計量,若假設(shè)

35、成立,方差的檢驗,3 對于給定的檢驗水平a ，查表,4 計算統(tǒng)計量c2 (n-1)的值,≈8.96,∴接受原假設(shè)H0 ： s2 = 0.0252,第16次,2 抽取10件零件,測得直徑的樣本均值為 ,樣本方差為 , 已知機(jī)器正常情況下 ,判斷機(jī)器工作是否正常(1-α=0.95),,,,1 提出待檢驗的假設(shè),解,2 選取檢驗統(tǒng)計量,若

36、假設(shè)成立,3 對于給定的檢驗水平a ，查表,4 計算統(tǒng)計量c2 (n-1)的值,≈4.959,∴接受原假設(shè)H0 ： s2 = 0.392,3 某廠生產(chǎn)的電纜 , 抗拉強(qiáng)度現(xiàn)從改進(jìn)工藝后生產(chǎn)的電纜中抽取10根,測量抗拉強(qiáng)度,樣本均值為 方差為 ,問 新工藝生產(chǎn)的電纜抗拉強(qiáng)度，其方差是否有顯著變化 ? (α=0.05),,,,,,1 提出待檢驗的假設(shè),解,2 選取檢驗統(tǒng)計

37、量,若假設(shè)成立,3 對于給定的檢驗水平a ，查表,4 計算統(tǒng)計量c2 (n-1)的值,≈9.358,∴接受原假設(shè)H0 ： s2 = 822,4 零件的直徑 ，該廠承諾 ，現(xiàn)從產(chǎn)品中抽取10件，測得直徑樣本均值為 ，方差為 ,問在顯著性水平α=0.05下,該廠承諾是否可信?,,,,,,,,,1 提出待檢驗的假設(shè),解,2 選取檢