2.71 直線與雙曲線的位置關系(理)

1、2.71直線與雙曲線的位置關系直線與雙曲線的位置關系【學習目標學習目標】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；2.能熟練運用幾何性質（如范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）解決相關問題；3.能夠把直線與雙曲線的位置關系的問題轉化為方程組解的問題，判斷位置關系及解決相關問題.【知識網(wǎng)絡知識網(wǎng)絡】【要點梳理要點梳理】要點一、雙曲線的定義及其標準方程要點一、雙曲線的定義及其標準方程雙曲線的定義雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定

2、點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的1F2F2aa122aFF?P軌跡叫作雙曲線.這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.1F2F雙曲線的標準方程：雙曲線的標準方程：焦點在x軸上的雙曲線的標準方程說明：焦點是F1(c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2b2焦點在y軸上的雙曲線的標準方程說明：焦點是F1(0，c)、F2(0，c)，其中c2=a2b2要點詮釋：要點詮釋：求雙曲線的標準方程應從“定形”、“定式

3、”和“定值”三個方面去思考.“定形”是指對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸的情況下，焦點在哪條坐標軸上；“定式”根據(jù)“形”設雙曲線方程的具體形式；“定量”是指用定義法或待定系數(shù)法確定ab的值.要點二、雙曲線的幾何性質要點二、雙曲線的幾何性質標準方程22221xyab??(00)ab??22221yxab??(00)ab??圖形焦點，1(0)Fc?2(0)Fc，1(0)Fc?2(0)Fc焦距2212||2()FFccab???2212||2

4、()FFccab???范圍，xxaxa???或yR?，yyaya???或xR?對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點(0)a?(0)a?軸實軸長=，虛軸長=a22b離心率(1)ceea??性質漸近線方程xaby??ayxb??要點三、直線與雙曲線的位置關系要點三、直線與雙曲線的位置關系直線與雙曲線的位置關系直線與雙曲線的位置關系將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或ykxm??22221xyab??(00)ab??y的一

5、元二次方程，其判別式為Δ.222222222()20bakxamkxamab?????若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；2220bak??bka??22221(00)xyabab????22221(00)yxabab????故選C.類型二：類型二：直線與雙曲線的位置關系直線與雙曲線的位置關系例2已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點個數(shù).【思路點撥】直線與曲線恰有一個交點，即由直線

6、方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解.【解析】聯(lián)立方程組消去y，并依x項整理得：???????4)1(22yxxky(1－k2)x22k2x－k2－4=0①(1)當1－k2=0即k=1時，方程①可化為2x=5，x=，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個公共25點(實質上是直線與漸近線平行時的兩種情況，相交但不相切).(2)當1－k2≠0時，即k≠1，此時有Δ=4(4－3k2)若4－3k20(k2≠1)，則k∈，方程組有兩解，故直線與

7、雙曲線有兩交點.?????????????????????3321)11(1332(3)若4－3k2=0(k2≠1)，則k=，方程組有解，故直線與雙曲線有一個公共點(相切的情況).332(4)若4－3k20且k2≠1則k∈，方程組無解，故直線與雙曲線無交點.??????????????????????332432綜上所述，當k=1或k=時，直線與雙曲線有一個公共點；332當k∈時，直線與雙曲線有兩個公共點；???????????????

8、??????3321)11(1332當k∈時，直線與雙曲線無公共點.??????????????????????332332【總結升華】本題通過方程組解的個數(shù)來判斷直線與雙曲線交點的個數(shù)，具體操作時，運用了重要的數(shù)學方法——分類討論，而且是“雙向討論”，既要討論首項系數(shù)1——k2是否為0，又要討論Δ的三種情況，為理清討論的思路，可畫“樹枝圖”如圖：舉一反三：舉一反三：【變式1】(2014天津)已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線平行

9、于直線l：y＝2x＋10，雙12222??byax曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為()AB120522??yx152022??yxCD1100325322??yx1253100322??yx【答案】A【解析】令y＝0，可得x＝－5，即焦點坐標為(－5，0)，∴c＝5，∵雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，12222??byax∴＝2，ab∵c2＝a2＋b2，∴a2＝5，b2＝20，∴雙曲線的方程為

10、120522??yx故選：A【答案】B【變式2】直線y=x3與曲線－x|x|y2=1的交點個數(shù)是()x191A.0B.1C.2D.3【答案】D例3.過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。(75)P221725xy??【思路點撥】顯然采用過P點的直線方程與雙曲線方程聯(lián)立的方法，但要注意直線斜率不存在的情況要先221725xy??判斷?！窘馕觥咳糁本€的斜率不存在時，則，此時僅有一個交點，滿足條件；7x?(70)若