向量數(shù)乘運算及其幾何意義

1、,,向量數(shù)乘運算及幾何意義,,,,,,,,=,A,B,C,D,,,,,,,,,(- ),(- ),(- ),-,A,B,C,D,,思考1：如圖，設點M為△ABC的重心，D為BC的中點，那么向量 與 ， 與 分別有什么關系？,對于任意一個三角形，三角形的三條高的交點叫做垂心，三角形的三條中線的交點所為重心，三角形的三條角平分線的交點叫內(nèi)心，三角形的三條中垂線的交點叫外心,思考1：如圖，設

2、點M為△ABC的重心，D為BC的中點，那么向量 與 ， 與 分別有什么關系？,一、向量的數(shù)乘運算的定義：,注意：比較兩個向量時,主要看它們的長度和方向,,,,,(1) 根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a) (a為非零向量)，并進行比較。,(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并進行比較。,,,,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,,二、數(shù)乘向量的幾何意義,數(shù)乘向量的幾何意義就是把向

3、量 沿 的方向或反方向放大或縮短.若 ,當 沿 的方向放大了 倍.當 沿 的方向縮短了 倍.當 ,沿 的反方向放大了 倍.當 沿 的反方向縮短了 倍.由其幾何意義可以看出用數(shù)乘向量能解決幾何中的相似問題.,,三、向量的數(shù)乘運算滿足如下運算律：,向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算,例1：計算下列各式,,,思考2：若存在實數(shù)λ，使

4、 ，則A、B、C三點的位置關系如何？,例2.如圖：已知 ， ，試判斷 與 是否共線．,∴ 與 共線．,解：,向量 與非零向量 共線 有且僅有一個實數(shù) ，使得 ．,三、定理,例3： 如圖，在平行四邊形ABCD中，點M是AB中點，點N在線段BD上，且有BN= BD，求證：M、N、C

5、三點共線。,基礎知識反饋,C.,A.,B.,,(2).,設 是非零向量, 是非零實數(shù),下列結(jié)論正確的是( ).,D.,(1).,下列四個說法正確的個數(shù)有( ).,B.2個,A.1個,C.3個,D.4個,?,?,?,?,B,C,,例4:若其中 , 是已知向量,求 ，,分析:此題可把已知條件看作向量的方程,通過解方程組獲得,解：記 ?、伲?②,3②

6、得 ③,①-③得,例5,如圖所示，已知　　 　說明向量 與 的關系．,解： 因為,所以， 與 共線同方向，長度是 的3倍,問題: 如果把3都換成k( 不為0),結(jié)論會有什么變化?,反饋演練：,1. 在 中,設D為邊ＢＣ的中點,求證:,,解：因為,（２）,所以，所證等式成立,則四邊形ABEC是平行四

7、邊形,D是BC中點，則D也是AE中點.,由向量加法平行四邊形法則有,解2:,,例6:,如圖，在 中,延長BA到C,使AC=BA,在OB上取點D,使BD= OB.DC與OA交于E,設 請用 .,,分析: 解題的關鍵是建立 的聯(lián)系，為此需要利用向量的加、減法數(shù)乘運算。,解：因為A是BC的中點，所以,,練習,,（ C ）,分析:由