注重挖掘代數(shù)式的幾何意義

1、注重挖掘代數(shù)式的幾何意義姜堰市勵(lì)才實(shí)驗(yàn)學(xué)校張網(wǎng)軍225500數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一，對(duì)于所研究的代數(shù)問(wèn)題，有時(shí)可研究其對(duì)應(yīng)的幾何性質(zhì)使問(wèn)題得以解決，以形助數(shù)，往往能達(dá)到異想不到的妙處。筆者在高三復(fù)習(xí)不等式證明時(shí)對(duì)此深有感觸，加以整理與大家共享。對(duì)于以下結(jié)構(gòu)的問(wèn)題需要注意其式子的幾何意義：（1）表示兩點(diǎn)間的距離或向量的模；（2）表示過(guò)????22xayb???ybxa??點(diǎn)與直線的斜率；（3）與直線的截距有關(guān)；??xy?

2、?abAxBy?0AxByC???（4）表示單位圓上的任意一點(diǎn)；（5）與??cossinP??221xy??22aabb??余弦定理有關(guān)，在解題過(guò)程可以利用這些式子的幾何意義達(dá)到簡(jiǎn)化不等式證明的目的。例1已知，求證：Rabcd??。????222222abcdacbd???????分析：分析：此題可利用距離公式與三角形的性質(zhì)加以解決。解：設(shè)，則點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第三象限????AabBcd??AB∵，2222OAabOBcd??????

3、??22ABaccd????∴若三點(diǎn)不共線，則在中，OABOAB?OAOBAB??若三點(diǎn)共線，則OABOAOBAB??綜上所述，，即OAOBAB??????222222abcdacbd???????例2已知，且，求證：。Rxyz??xyza???22223axyz???分析：分析：表示平面上任意一點(diǎn)到空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)222xyz??xyza???距離平方，最小值為原點(diǎn)O到平面的距離。xyza???解：設(shè)點(diǎn)為平面：上任意一點(diǎn)，則原點(diǎn)O到

4、平面??Pxyz?xyza????的距離為，則由平面外一點(diǎn)O與平面上2221010103111aad????????????任意一點(diǎn)的連線中垂線段最短知：OPd?所以，即。2223axyz???22223axyz???例3設(shè)函數(shù)，且，求證：。2()1fxx??ab?()()fafbab???分析：分析：此題只要證明過(guò)點(diǎn)的直線的斜率????()()AafaBbfb的絕對(duì)值小于1。()()fafbkab???解：設(shè)為函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則???

5、?()()AafaBbfb2()1fxx??，而函數(shù)的圖象是雙曲線的上半()()fafbkab???2()1fxx??221yx??支再直線AB的方程為，聯(lián)立方程組ykxb??消去得，221yxykxb???????x??2221210kybyb?????∵直線AB與雙曲線的上半支交于A、B兩點(diǎn)221yx??∴（等號(hào)不可同時(shí)成立），∴11AByy??0AByy?∵，∴，即，故22101ABbyyk????21k?1k?()()1fafb

6、ab???所以。()()fafbab???例4已知，且，求證：。Rabcd??222211abcd????1acbd??分析分析1：方程都表示以原點(diǎn)為圓心的單位圓，故可利222211abcd????用圓的參數(shù)方程解題。解：設(shè)cossincossin(0)2abcd????????????則??coscossinsincosacbd???????????顯然??cos1acbd??????分析分析2：此題也可利用向量的數(shù)量積與模之間的關(guān)系