高等代數(shù)中概念、實(shí)例、定理的內(nèi)涵、背景與應(yīng)用

1、高等代數(shù)中概念、實(shí)例、定理的內(nèi)涵、背景與應(yīng)用,陳爾明華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)系,高等代數(shù)教學(xué)內(nèi)容中, 有一些內(nèi)容表面上是孤立的, 但實(shí)際上很多這樣的內(nèi)容都有其生動(dòng)的背景與應(yīng)用. 這反映了數(shù)學(xué)個(gè)學(xué)科間的廣泛聯(lián)系. 了解有關(guān)的聯(lián)系, 提高我們的綜合數(shù)學(xué)修養(yǎng), 會(huì)使我們得到對(duì)教學(xué)內(nèi)容更精確與深入的理解, 更好的掌握教學(xué), 得到更豐富的與學(xué)生交流的素材. 下面我們列舉若干這類內(nèi)容, 以說(shuō)明這方面的問(wèn)題.,1. 向

2、量空間的概念 我們常把向量空間的概念與中學(xué)里平面解析幾何的內(nèi)容做類比. 但有的學(xué)生也問(wèn): 為什么向量空間的理論中不研究坐標(biāo)平移. 實(shí)際上向量空間的概念是純代數(shù)的. 回答上面的問(wèn)題,我們需要其幾何化的概念, 這就是仿射空間的概念. 在微分流形、張量分析的教材中有相應(yīng)的公理化的定義.,D.[1] 設(shè)V是n維向量空間, A是一個(gè)非空集,A中的元素稱為點(diǎn),如果存在映射

3、 , 使得A中任意一對(duì)有序點(diǎn)P,Q映為V中的一個(gè)向量 ,且滿足:(1)(2) 存在唯一的一點(diǎn) ,使得(3) 恒成立,,,,,,,,,,,,,,,,則稱A是n維仿射空間. V是其伴隨的向量空間. 在A中任取一點(diǎn)P, 及V中一個(gè)基底 ,則

4、 為A中一個(gè)標(biāo)架. 利用n維仿射空間的理論與中學(xué)里平面解析幾何內(nèi)容相類比, 就可以很好的回答上面的問(wèn)題了.,2. Vandermonde 行列式的應(yīng)用 在一般教材中, Vandermonde 行列式常作為一個(gè)行列式計(jì)算的實(shí)例而出現(xiàn). 實(shí)際上它本身有許多重要的應(yīng)用. 我們舉一例. 把Vandermonde 行列式應(yīng)用于下面拓?fù)鋵W(xué)定理

5、的證明,可以得到非常簡(jiǎn)潔的陳述.下述定理中的n維單純復(fù)形K是指: 次數(shù)不超過(guò)n的一些不同維數(shù)的單形的集合, 他們要規(guī)則放置.,定理[2] 任意n維單純復(fù)形K可以嵌入 中. 證明: 因?yàn)镵可以與一個(gè)抽象復(fù)形同胚, 我們考慮K為抽象復(fù)形. 設(shè)K的全部頂點(diǎn)為 , 選擇 中m+1個(gè)點(diǎn), 他們有性質(zhì): 其中有2n+2個(gè)是獨(dú)立的. 注意m可能比n大很多. 這件事這

6、樣辦到: 取m個(gè)點(diǎn) , .利用Vandermonde 行列式可知:,,,,,,,方程組:只有0解, 所以上面m+1個(gè)點(diǎn)中任意2n+2個(gè)都是獨(dú)立的. 也稱為這m+1個(gè)點(diǎn)處于一般位置. 然后把這m+1個(gè)點(diǎn)與K的 m+1個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng),再按K的單形相對(duì)應(yīng)的單形. 這些單形是否構(gòu)成一復(fù)形,,,,,只需證明: 任意兩個(gè)單形的交如

7、果不空, 則其交是他們的公共面. 由于復(fù)形K是n維的, 其單形的最大維數(shù)是n, 所以兩個(gè)單形的頂點(diǎn)的總和不超過(guò)2n+2, 從而在我們構(gòu)造中是獨(dú)立的.他們張成中一個(gè)單形,上面所述兩單形是此單形的兩個(gè)面, 這兩個(gè)面的交當(dāng)然是這兩個(gè)面的公共面, 如同正4面體的任意2個(gè)2維面的交若不空, 是1維的公共棱, 或0維的公共頂點(diǎn), 而不會(huì)是其它的任意的情形. 證畢.,這個(gè)結(jié)論是比較深刻的. 他體現(xiàn)在復(fù)形的維數(shù)固定, 他的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是任意

8、大的有限數(shù)，所以其證明有一定難度.,3. 對(duì)稱變換的一個(gè)背景 在高等代數(shù)教材中, 對(duì)稱變換是歐氏空間中的一個(gè)內(nèi)容, 在教材中他的出現(xiàn)是比較孤立的.但是他實(shí)際是一些具體現(xiàn)象的抽象. 在若干具體背景中微分幾何中的背景是較生動(dòng)的一個(gè). 首先來(lái)看對(duì)稱變換的定義: D. 歐氏空間中對(duì)任意 , 滿足關(guān)系: 的

9、 的線性變換 ,稱為對(duì)稱變換.,,,,微分幾何中有一種重要的映射, 稱為Weingarten映射. 為此首先明確Gauss映射. D. 曲面每一點(diǎn)有一個(gè)單位法向量n(u,v),將其起點(diǎn)平移至原點(diǎn)O，我們就得到Gauss映射g,它使g(r(u,v))=n(u,v)則Weingarten映射為：W=-.易知W是對(duì)稱變換.,,對(duì)稱變換具有下列性質(zhì) :

10、 Th. n維歐氏空間的一個(gè)對(duì)稱變換的屬于不同本征值的本征向量彼此正交. 這個(gè)性質(zhì)對(duì)應(yīng)著微分幾何中在曲面上一點(diǎn)處, 有兩個(gè)正交的共軛方向. 而共軛方向是描述一點(diǎn)的鄰近處曲面的形狀的重要概念. 了解了與對(duì)稱變換相關(guān)的具體現(xiàn)象, 我們就有了更生動(dòng)的理解.,4．Jordan分解、標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用 Jordan分解是關(guān)于線性變換的較深刻的結(jié)論.他有很多重要應(yīng)用. 其中,

11、 有兩方面的應(yīng)用意義重大. (1) 在動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用 自治型微分方程 是最簡(jiǎn)單最重要的方程. 當(dāng)我們可以經(jīng)坐標(biāo)變換使方程變形, 當(dāng)A經(jīng)坐標(biāo)變換化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型, 我們就可以定性的判斷方程解的動(dòng)力形態(tài).,,(2) 在Lie代數(shù)中的應(yīng)用 我們知道Lie代數(shù)中有一種重要運(yùn)算, Poisson括號(hào)積. 由兩個(gè)線性變換A,B構(gòu)成的線性變換AB-BA即為一括號(hào)積

12、. 所以有限維空間上線性變換以此為積構(gòu)成Lie代數(shù), 這是最重要最基本的Lie代數(shù).對(duì)此Lie代數(shù)研究其半單子代數(shù)與線性變換分解為半單的與冪零的線性變換密切相關(guān), 且任意Lie代數(shù)又都有伴隨表示, 即與一個(gè)線性變換構(gòu)成的Lie代數(shù)同態(tài). 所以, 把一個(gè)線性變換分解為半單的與冪零的線性變換的和是非常重要的, 從而Jordan分解及向量空間按一線性變換分解為根子空間的直和是經(jīng)常需要的.,5.多元多項(xiàng)式 教材中對(duì)多元多項(xiàng)式的

13、介紹一般不多.但是多元多項(xiàng)式的理論對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展至關(guān)重要.了解一些相關(guān)的知識(shí)非常必要. (1) n元齊次多項(xiàng)式 齊次多項(xiàng)式有一個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì): 若一個(gè)點(diǎn)p是齊次多項(xiàng)式 的根,則cp也是其根.即含有p的1維子空間上的每一點(diǎn)都是其根. 而1維子空間為n維射影空間的一點(diǎn): 故齊次多項(xiàng)式

14、 可表示n維射影空間的一曲線.,,,(2)結(jié)式 結(jié)式可以表示兩多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)的情形. 在代數(shù)幾何種有廣泛應(yīng)用. 我們引用一段簡(jiǎn)單證明說(shuō)明他的應(yīng)用. P. 在R[x,y]中(Y)是V(Y)的最大定義理想. 因?yàn)槿?Y)非最大, 則有多項(xiàng)式p在V(Y)上取值0, 且p不在(Y)中

15、, 與Y互素. 那末, 結(jié)式 . 且 只含有有限個(gè)點(diǎn)所以p不能在V(Y)上每都取0. 從而說(shuō)明V(Y)最大定義理想.,,,6．正定、半正定二次型的應(yīng)用 正定二次型在優(yōu)化理論中有重要應(yīng)用. 凸性在優(yōu)化理論中有重要作用, 而凸性與半正定性密切相關(guān). D. , f 稱為S上的凸函數(shù), 如果對(duì)任意

16、 , 有成立.,,,,Th.[6] 設(shè) 是非空開(kāi)凸集，f 是定義在S上的二次可微函數(shù),則f 是凸函數(shù)的充分必要條件是在S的每一點(diǎn)Hesse矩陣正半定. 如果每一點(diǎn)Hesse矩陣正定,則f 是嚴(yán)格凸函數(shù). Hesse矩陣是由f 的2階偏導(dǎo)構(gòu)成的矩陣.Hesse矩陣是對(duì)稱的實(shí)矩陣。,我們想表達(dá)的是教學(xué)與科研相輔相成, 教學(xué)與科研一樣無(wú)止境. 提高教

17、學(xué)水平有很多方面的工作, 其中數(shù)學(xué)修養(yǎng)的提高是改進(jìn)教學(xué)水平的重要方面之一. 也說(shuō)明即使我們很熟悉的基礎(chǔ)課教學(xué), 也需要不斷學(xué)習(xí), 不斷作小學(xué)生.,參考文獻(xiàn)[1] 微分流形初步, 陳維桓, 北京大學(xué)出版社1998[2] 張量分析及應(yīng)用, 李開(kāi)泰等, 科學(xué)出版社 2004[3] Algebraic Topology , C.R.F. Maunder, Cambridge press 1980[4