幾何背景分析在高等代數(shù)課程學習中的作用[畢業(yè)論文]

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　幾何背景分析在高等代數(shù)課程學習中的作用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學 <

2、;/p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文介紹了大學數(shù)學的兩門基礎課解析幾何和高等代數(shù)，從數(shù)學史上分析了高等

3、代數(shù)的幾何背景，以及用幾何思想解代數(shù)問題的必要性和重要性。敘述了幾何直觀在高等代數(shù)學習中的重要作用，如從幾何背景解釋了線性方程組解空間、行列式的幾何定義、格拉姆-施密特正交化的幾何解釋使學生更深刻的理解代數(shù)概念。并根據(jù)所給的幾何背景反過來幫助解答高等代數(shù)中的問題，使抽象的問題更加明了，更能為學生所接受。</p><p>　　關鍵詞：高等代數(shù)；解析幾何；線性方程；行列式；施密特正交化</p><

4、p><b>　　朗讀</b></p><p>　　顯示對應的拉丁字符的拼音</p><p>　　字典 - 查看字典詳細內(nèi)容</p><p>　　Geometric Background Analysis in Higher Algebra Course Learning in The Role</p><p>　　

5、Abstract：This article describes the two basic courses of Mathematics, Analytic Geometry and algebra, the mathematical analysis of the history of the geometric background of advanced algebra, and geometry to solve algebra

6、 problems thinking of the necessity and importance. Describes the geometric intuition in higher algebra important role, such as the background from the geometric interpretation of the solution space of linear equations,

7、geometric definition of the determinant, Gram - Schmidt orth</p><p>　　Key words：higher algebra; analytic geometry; linear equation; the determinant; schmidt is orthogonal</p><p><b>　　目 錄&l

8、t;/b></p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1 問題的背景1</p><p>　　1.2 問題的意義1</p><p>　　2 高等代數(shù)和解析幾何的介紹2</p><p>　　2.1 高等代數(shù)的組成2</p><

9、;p>　　2.2 解析幾何的范圍2</p><p>　　2.3 高等代數(shù)的幾何意義2</p><p>　　2.4 幾何在高等代數(shù)中運用的必要性和重要性3</p><p>　　3 線性方程組解的幾何意義4</p><p>　　3.1 平面與平面的關系4</p><p>　　3.2 二條直線之間

10、的關系6</p><p>　　3.3 一條直線與一個平面的關系8</p><p>　　3.4 幾何背景解線性方程組9</p><p>　　4 行列式的幾何背景12</p><p>　　4.1 行列式的定義12</p><p>　　4.2 行列式幾何意義的說明13</p><p&

11、gt;　　4.3 行列式的性質(zhì)的幾何解釋15</p><p>　　4.4 行列式幾何意義的應用18</p><p>　　5 格拉姆-施密特正交化21</p><p>　　5.1 格拉姆-施密特正交化的基本思想21</p><p>　　5.2 格拉姆-施密特正交化方法的幾何解釋22</p><p>　

12、　5.3 歐氏空間中向量組正交化過程23</p><p><b>　　6 結(jié)論26</b></p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻27</b></p><p><b>　　1 緒 論</b></p><

13、;p>　　1.1 問題的背景</p><p>　　我們知道高等代數(shù)與解析幾何之間的重復現(xiàn)象，在高等代數(shù)、解析幾何與近世代數(shù)、微分方程之間又何嘗沒有。因此統(tǒng)籌考慮代數(shù)類與幾何類的課程體系改革是必要的又是可能的。高代與近代之間是關系非常緊密、內(nèi)容也有重疊。如多元多項式，Jordan標準形等。這些內(nèi)容在高代中論述相當之麻煩，而在近代中可簡捷明了論述清楚[1]。這樣在高代中棄之不講，而放在近世代數(shù)中可得到事半功倍

14、之效。本世紀的微分幾何代表Cartan（卡當）、陳省身所研究的問題經(jīng)常是整體的、大范圍的，故常稱為整體微分幾何。他們使用的研究方法，如活動標架法，外微分形式等與代數(shù)理論關系可以說是形影不離，微分幾何在一定意義上正在代數(shù)化。雖然大學微分幾何課主要講經(jīng)典微分幾何，以往的教法很少與代數(shù)聯(lián)系。現(xiàn)在則盡量利用代數(shù)語言與方法，如用非代數(shù)方法講解結(jié)構(gòu)方程與基本定理；用對稱變換講解主方向，主曲率，Gauss曲率與平面曲率等。這些講法不僅和高等代數(shù)、解析

15、幾何、近世代數(shù)緊密聯(lián)連，而且更貫穿了現(xiàn)代微分幾何的思想與方法[2]。當然這也要求高等代數(shù)與解析幾何課更新有關內(nèi)容與之相適應。這樣就強化了微分幾何與高等代數(shù)、解析幾何、近世代數(shù)的聯(lián)系，同時，也使古典微分幾</p><p>　　1.2 問題的意義</p><p>　　從數(shù)學發(fā)展史上看，代數(shù)與幾何關系已密不可分，相互依賴，早在歐式幾何原本那里，包括幾何數(shù)論和初等代數(shù)一些內(nèi)容，幾何與代數(shù)不加劃分

16、，幾何學幾乎代表了全部數(shù)學，事實上英文書名為《Elements》。故應譯為《原本》，而《幾何原本》“幾何”二字由利瑪竇與徐光啟在1607年翻譯為中文時所添加上去。十四世紀初，人們承認原理數(shù)后就有了用數(shù)表示線段的長度，二、三維圖形的面積、體積等，阿拉伯人用代數(shù)方法解方程，然后用幾何圖形說明所做步驟的原理。這種做法展示了代數(shù)與幾何之并行不悖，這種并行性的進一步，充分發(fā)揚并導致解析幾何的產(chǎn)生[3]。誠然，解析幾何是以代數(shù)為工具來研究幾何問題，

17、因而我們可本著“工欲善其事，必先利其器”的原則，我們可否先討論高等代數(shù)，而后用之解決解析幾何問題?從本質(zhì)上看，解析幾何中的二次曲線，二次曲面的分類與線性代數(shù)中的二次型的分類可的說是一回事。至今解析幾何課一直先于或同時與高等代數(shù)開設。教師教得費心，學生學得辛苦。例如，解析幾何中的共線共面，二次曲面的導向，漸近方向，主方向，共軛方向等，有了線性代數(shù)知識后，介紹起來異常簡單。其實這些內(nèi)容只不過是低維空間的線性代數(shù)而已。單在解析幾何課中學<

18、;/p><p>　　2 高等代數(shù)和解析幾何的介紹</p><p>　　2.1 高等代數(shù)的組成</p><p>　　高等代數(shù)是大學數(shù)學科學學院（或數(shù)學系，應用數(shù)學系）最主要的基礎課程之一。高等代數(shù)課程的教學內(nèi)容包括三個方面：線性代數(shù)，多項式理論，群、環(huán)、域的基礎概念。線性代數(shù)占的比重最大，它研究線性空間及其線性映射（包括具有度量的線性空間及與度量有關的線性變換）。多項

19、式理論是研究一元和多元多項式環(huán)。群、環(huán)、域的基本概念是緊密結(jié)合多項式理論和線性變換（包括與度量有關的線性變換）理論，水到渠成地介紹一元（多元）多項式環(huán)、矩陣環(huán)、線性變換環(huán)、模剩余類域、正交群、酉群和辛群【5】。</p><p>　　2.2 解析幾何的范圍</p><p>　　代數(shù)幾何是數(shù)學的一個分支，顧名思義，它把抽象代數(shù)的方法，特別是交換代數(shù)，與幾何的語言和問題糅合在一起．在與復分析，

20、拓撲，數(shù)論等有多重聯(lián)系的現(xiàn)代數(shù)學的各個領域中，代數(shù)幾何占據(jù)了中心位置。代數(shù)幾何最初研究多個變量的多項式方程組，它并不始于方程求解，而是至少掌握方程組的全部解，以得到某些解，這就把整個數(shù)學在概念和技術方面帶入了更深遠的領域，代數(shù)簇是它的最基本的研究對象。而分類問題又是代數(shù)幾何中的主要研究課題，它起著引導代數(shù)幾何發(fā)展和進步的作用?！?】</p><p>　　2.3 高等代數(shù)的幾何意義</p><

21、p>　　線性代數(shù)實際上產(chǎn)生于解析幾何，線性代數(shù)的許多基本概念和方法都有很強的幾何背景，從幾何角度來學習線性比較容易理解，其效果比單純從代數(shù)角度來學習更好。幾何為代數(shù)提供直觀背景，代數(shù)為幾何提供研究方法。數(shù)理邏輯是科學研究擅長的思維方式，但人類對幾何圖形的直觀認識卻是與生俱來的，“數(shù)形結(jié)合”恰恰是聯(lián)系二者的橋梁。直觀的模型，形象的認識，輔以邏輯推理，將有利于數(shù)學結(jié)論的理解和掌握。我們把通過對幾何圖形進行觀察，根據(jù)直觀認識的橫向遷移來

22、解決其它數(shù)學分支相關問題的方法稱為幾何直觀方法[6]。高等代數(shù)是研究線性空間及其上的線性變換的學科，課程中大量的公式、定理、推論都是采用嚴格的演繹論證方法，抽象程度高，邏輯性強。學生在學習知識時很難深刻理解其中的抽象概念和復雜結(jié)論，學習效率不高[4]。利用幾何直觀方法，把抽象的問題形象化，結(jié)合直觀的形象對抽象內(nèi)容加以理解，可以幫助學生理解概念，發(fā)現(xiàn)研究思路，有效開展推理、猜想，直至問題解決。因此，在教學中運用幾何直觀與演繹論證相結(jié)合的方

23、法，不僅是學生學好高等代數(shù)的需要，而且對培養(yǎng)學生分析問題的能力和養(yǎng)成科學的思維品質(zhì)都具有十分重要的意義[7]。</p><p>　　幾何課程與其它數(shù)學課程聯(lián)系密切。一方面, 借助于幾何直觀、幾何解釋, 可以幫助理解、接受抽象的內(nèi)容和方法。只有做到了直觀上懂, 才算真懂。抽象觀念的直觀背景與幾何形象, 實為學生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機會, 以達到真懂的境界。另一方面, 借助于現(xiàn)實空間的幾何, 通過類比、聯(lián)想, 可

24、以使思維較容易轉(zhuǎn)向更抽象的空間形式, 進而提高學生的抽象概括能力和創(chuàng)新精神, 激發(fā)學生的學習興趣, 形成良好的思維品質(zhì)。數(shù)學中許多重要定理的證明大多源于幾何思想或可用幾何圖像作出概括。當我們認真鉆研, 反復琢磨, 掌握了證明的真諦時, 往往會感到這種證明如此簡明、清晰, 全部反映在一種具體的理想圖形之中。數(shù)學中兩大研究對象“ 數(shù)”與“ 形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素。在這個意義下,幾何和代數(shù)是不可分割的。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學的重要思想方法

25、, 在此, 幾何充分發(fā)揮了它作為雙刃工具的作用。在學習代數(shù)時同時考慮到它的幾何背景和解釋, 對代數(shù)的抽象內(nèi)容的理解是十分有益的。</p><p>　　2.4 幾何在高等代數(shù)中運用的必要性和重要性</p><p>　　高等代數(shù)和解析幾何具有更為緊密的聯(lián)系, 解析幾何的研究對象是二維和三維空間中幾何問題, 處理的工具是代數(shù)方法。高等代數(shù)主要介紹多項式理論和線性代數(shù)理論, 具有較強的抽象性和邏

26、輯性，但高等代數(shù)中許多基本概念和方法都有很強的幾何背景. 如果將兩門課進行一體化教學, 有利于學員理解高等代數(shù)中抽象的概念, 同時也可以從更高的角度來研究幾何問題, 使學員更好地掌握代數(shù)方法和幾何方法去處理科學技術中遇到的各類問題. 本文探討幾何背景下高等代數(shù)課中運用的必要性。</p><p>　　高等代數(shù)和解析幾何一直按照原來應用數(shù)學專業(yè)的教學內(nèi)容和教學方法進行教學，沒有考慮到數(shù)理打通后各專業(yè)的自身特點。另外，

27、解析幾何的教學中需要用到較多高等代數(shù)的理論與方法，由于兩門課程在教學實施過程中的銜接性較差，講授解析幾何時，必須花不少的時間來講授高等代數(shù)的部分內(nèi)容，影響了解析幾何的正常教學。最后，目前國內(nèi)大多數(shù)高等代數(shù)教材在處理向量、矩陣和線性方程組等內(nèi)容時，層次不清，內(nèi)容交替，使得實施教學沒有系統(tǒng)性和科學性。高等代數(shù)與解析幾何關系非常密切，這兩門課程的內(nèi)容有許多重復部分。如果將這兩門課程進行一體化教學，不僅可以省出許多時間，而且也不會過多地削減教學

28、內(nèi)容. 從某種意義上說，反而會使這兩門課程都得到加強。早在1958 年到1965 年間，華羅庚先生在中國科學技術大學數(shù)學系倡導改革，實行數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何等基礎課的合并， 采用“一條龍”教學法，這種作法也為陳省身等數(shù)學家所提倡。下面我們從線性方程組解的情況、行列式、格拉姆-施密特正交化三個方面具體的來看幾何和高等代數(shù)是怎樣互相作用的。</p><p>　　3 線性方程組解的幾何意義</p>

29、<p>　　線性方程組理論是線性代數(shù)的重要組成部分,自然科學和工程技術中許多計算最終可以化成線性方程組的求解問題, 因此, 學好線性方程組的求解是十分重要的。一般情況下, 線性方程組的求解離不開有解判定定理, 但是, 對于該定理, 學生普遍反映比較困難, 難于理解。究其原因, 關鍵在于沒有弄清楚定理所蘊藏的幾何意義, 如果利用幾何直觀組織教學, 為抽象的定理提供形象的模型, 則能給學生留下深刻的印象, 從而很好理解并掌握有

30、解判定定理的豐富內(nèi)涵。下面我們從平面與平面，直線與直線，平面與直線三個方面來討論線性方程組解的情況?！荆怠?lt;/p><p>　　3.1 平面與平面的關系</p><p>　　設幾何空間 中平面每個平面都可看成一個 中的2維線性流形，它們的方向子空間都是 中的2維線性子空間,則之間的關系轉(zhuǎn)化為線性方程組</p><p>　　的解的情況討論。 具體地說,就是轉(zhuǎn)化為解集

31、</p><p><b>　　與解集</b></p><p>　　的結(jié)構(gòu)討論,其中就是線性方程組的解空間。當時, 是以 為方向子空間的線性流形。</p><p>　　設線性方程組的系數(shù)矩陣為, 增廣矩陣為,則自然有,</p><p><b>　　或?，F(xiàn)在根據(jù)與</b></p><

32、p>　　來討論之間的各種關系。</p><p>　　(i)當，時（此時，），是一個2維線性子空間（平面），即的方向子空間,</p><p>　　相交成一個平面，故之間關系是：其中至少有兩個平行，其余的與這兩個或重合或平行（包括//////）．</p><p>　?。╥i）當，時(此時，)，是一個1維線性子空間（過原點的直線），即的方向子空間相交成過原點的一條直

33、線，故之間關系是：任兩個平面的交線（若有的話）互相平行且至少有兩條交線。以為例的關系如圖1。</p><p>　　圖 1三個平面的關系</p><p>　　(iii)當時(這里首先要求,此時) , 是一個0維線性子空間(即為原點) ,即 的方向子空間相交于原點,故之間關系是:至少有三個平面相交于一點且該點至少不屬于其余平面中的一個。 以為例, 的關系如圖2。</p><

34、p>　　圖2 四個平面的關系</p><p>　　(iv) 當時（此時，）, 是一個2 維線性子空間(過原點的平面) ,故</p><p>　　是2 維的線性流形(平面) , 即， 重合。</p><p>　　(v) 當 時(此時,</p><p>　　) 是一個1 維線性子空間(過原點的直線) ,故 是1 維的線性流形(直線) ,

35、 即相交成一條直線。</p><p>　　(vi) 當時(此時，</p><p>　　), 是一個0 維線性子空間(原點) ,故 是0 維的線性流形(單點集) ,此時相交成一點。 以為例,如圖3所示。</p><p>　　圖3 三個平面交于P點</p><p>　　3.2 二條直線之間的關系</p><p>&l

36、t;b>　　設</b></p><p>　　都是 中的1 維線性流形,設它們的方向子空間分別為</p><p>　　這里，則與的關系轉(zhuǎn)化為線性方程組</p><p>　　的解的情況討論。 具體就是轉(zhuǎn)化為解集</p><p><b>　　與解集</b></p><p><b&

37、gt;　　的結(jié)構(gòu)討論。</b></p><p>　　設線性方程組(ii)的系數(shù)矩陣為, 增廣矩陣為 , 則自然有，</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　(i) 當 時(此時) , 是一個1維線性子空間(直線) ,即與的方向子空間 相交成一條直線,故與關系是:平行。</p><p>

38、　　(ii) 當 時(此時)，是一個0 維線性子空間(原點) ,即 與的方向子空間相交成一個原點,故與關系是:異面。</p><p>　　(iii) 當時(此時) , 是一個1 維線性子空間(直線) ,即 的是1 維的線性流形(直線) ,故與關系是:重合。</p><p>　　(iv) 當時(此時) , 是一個0 維線性子空間(原點) ,即 是0 維的線性流形(單點集) ,故與關系是:相交

39、。</p><p>　　3.3 一條直線與一個平面的關系</p><p><b>　　設</b></p><p>　　是中的1 維線性流形, 是中的2 維線性流形,設它們的方向子空間分別為</p><p>　　則 與的關系轉(zhuǎn)化為線性方程組</p><p><b>　?。?）</b

40、></p><p>　　的解的情況討論。 具體即轉(zhuǎn)化為解集</p><p><b>　　與解集</b></p><p><b>　　的結(jié)論討論。</b></p><p>　　設線性方程組(3) 的系數(shù)矩陣為, 增廣矩陣為，則自然有，</p><p><b>　

41、　，。</b></p><p>　　(i) 當 時(此時) , 是一個1 維線性子空間(直線) ,即與的方向子空間與相交成一條直線,故與關系是:直線與平面平行。</p><p>　　(ii) 當 時(此時) , 是一個1 維線性子空間(直線) ,即是1 維的線性流形(直線) ,故與關系是:直線在平面內(nèi)。</p><p>　　(iii) 當 時(此時)

42、, 是一個0維線性子空間(原點) ,即是0維的線性流形(單點集) ,故與關系是:直線與平面相交?！?5】</p><p>　　3.4 幾何背景解線性方程組</p><p>　　下面我們通過1個具體的例子來進一步討論。</p><p>　　例3.1設，則三條直線，其中，交于一點的充要條件是（ ）</p><p>　?。ˋ）線性相關

43、 （B）線性無關</p><p>　　（C） （D）線性相關，線性無關</p><p>　　解法一 ：首先，由條件知，</p><p>　　三條直線交于一點線性方程組有唯一解由唯一表示線性相關，且線性無關；</p><p>　　解法二 ：設矩陣，則三條直線交于一點線性方程組有唯一解線性相關，且線性無關；</p><

44、;p>　　解法三 ：三條直線交于一點線性方程組有唯一解，其中由有解線性相關，由有唯一解線性方程組的解空間為零空間，從而，得出線性無關；反之，由線性相關，且線性無關由唯一表示，從而線性方程組有唯一解；</p><p>　　以上題目給出了二維幾何空間中的三條直線交于一點的一個充要條件，通過它的求解，可以幫助我們把很多東西總結(jié)歸納連起來，比如：</p><p>　　1.用到了線性方程組的三

45、種形式：</p><p>　　常規(guī)形式向量形式，其中, 矩陣形式，其中</p><p>　　2.看到了線性方程組有唯一解的幾何背景；</p><p>　　3.通過類比、聯(lián)想可以得出幾何空間中很多幾何相關結(jié)論的代數(shù)判別方法，比如中四平面交于一點線性相關，線性無關；又比如中一條直線與平面相交，，，線性相關，且，，線性無關。</p><p>　　

46、4.通過求解，能熟悉串聯(lián)代數(shù)中的相關命題，比如：</p><p>　　線性方程組，其中，，．．．，，有唯一解由唯一表示線性相關，且線性無關矩陣方程，其中有唯一解。【1】</p><p>　　4 行列式的幾何背景</p><p>　　行列式是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容之一, 它在線性代數(shù)中有很多應用。例如求解線性方程組的解、利用伴隨矩陣求可逆矩陣、求矩陣的特征值以及判斷二

47、次型的正定性等等。因此, 學好行列式是非常重要的。但是大多數(shù)教材中, 介紹行列式的概念時采用了比較抽象的定義方式。對此, 很多學生只會機械記憶、死記硬背而不理解它的幾何意義, 以至于對階行列式的概念感到無所適從。這樣, 從一開始就使學生線性代數(shù)的學習產(chǎn)生了畏難心理, 從而逐漸失去了學好這門課程的信心。實際上, 我們可以引導學生從幾何直觀的角度來理解。</p><p>　　4.1 行列式的定義</p>

48、<p>　　二階行列式的定義如圖4，對兩向量，設為以OA，AB為邊的平行四邊形面積，為OA與AB所成的角。</p><p>　　令，且規(guī)定：若則；若，則；若兩邊OA，AB共線，則（注意：）。</p><p><b>　　圖4 三階行列式</b></p><p>　　三階行列式的定義如圖5，對三向量，，，設為以OA，OB，OC為三度

49、長的平行六面體的體積。</p><p>　　令，且規(guī)定：若向量組為右旋方向時，；若向量組為左旋方向時，；若OA，OB，OC共面時， 。</p><p><b>　　圖5 四階行列式</b></p><p>　　4.2 行列式幾何意義的說明</p><p>　　下面我們結(jié)合線性空間的幾何背景,較為直觀的方式對行列式的幾何

50、意義予以解釋。</p><p>　　當時, 即為實軸,可將其看成一維空間,向量,即為一實數(shù). 此時 行列式就是一個實數(shù),它表示的是以原點為起點,以此實數(shù)a所標之點為終點的有向線段的有向長度（如圖6）</p><p><b>　　圖6 有向長度</b></p><p>　　當 時, 中的元以列向量的方式給出. 若記列向量,則可記行列式</

51、p><p>　　當n = 2 時,設則行列式是以向量為鄰邊(所謂“以向量α為邊”指的是“以向量的起點到終點所組成的線段為邊”) 組成的平行四邊形的有向面積(如圖7) . 這個方向是以逆時針旋轉(zhuǎn)為正方向,故而正是該圖形的反向面積. 再考察行列式,從圖8可以看出以向量與向量為鄰邊組成的平行四邊形的有向面積與以向量為邊組成的平行四邊形的有向面積是完全相同的. 即行列式的值也確為該四邊形的有向面積?！?】</p>

52、<p><b>　　圖7 有向面積</b></p><p>　　圖8 有向面積相等</p><p>　　這個簡單的例子表明,將行列式的某一列(或行) 的倍數(shù)加到另一列(或行) 上時, 行列式中以列(或行) 向量為鄰邊組成的平行四邊形(或在高維時為平行多面體) 發(fā)生了切變, 但其面積卻不變. 變換后的行列式依然是這個變化了的平行四邊形(或平行多面體)

53、的有向面積(或體積) . 又顯然,當二階(三階亦相似) 行列式中的列(或行) 向量相關時,行列式中的列向量組共線(或共面) ,由其組成的“平行四邊形(或六面體) ”退化為線(或面) ,故面積為0. 進一步, 任何行列式總可以通過列(或行) 的變換變成對角形. 所以上面的分析已經(jīng)可以從直觀上說明行列式的確為平行多面體的有向體積．【11】</p><p>　　由此不難觀察到一個一般二階行列式或者三階行列式的幾何意義.

54、 將二、三維空間中的結(jié)果推廣到n 維,便可得一般階行列式的幾何意義: n 個n 維向量張成的n 維平行多面體的有向體積。</p><p>　　下面我們通過1個具體的例子看幾何是怎么服務于行列式的計算的</p><p>　　例4.1 : 計算行列式的值</p><p>　　解: 同學們大多數(shù)都會用書上講的三階行列式展開的三角法則來做。</p><

55、p><b>　　=-500</b></p><p>　　用上述方法的前題是要記住三階行列式的三角形法則，且展開過程中每一步都不能出錯，這對于剛學習行列式的同學來講不一定都能做到。下面我們從幾何背景來解這個題目。</p><p>　　我們把看成以為坐標的三個向量張成的平行六面體的“體積”。利用所學向量知識可以很快求解。</p><p>&l

56、t;b>　　=-500</b></p><p>　　自然地我們可以引導學生推出n階行列式的幾何意義。（n個n維向量構(gòu)成的平行多面體的有向體積）這樣, 通過幾何直觀的方法引人行列式, 就使學生對行列式的概念看得見, 摸得著, 在頭腦中留下深刻的印象,從而降低對概念理解的難度, 激發(fā)起學習后續(xù)課程的興趣?！?6】</p><p>　　4.3 行列式的性質(zhì)的幾何解釋</

57、p><p><b>　　性質(zhì)4.1 </b></p><p><b>　　證明 如圖9，對。</b></p><p><b>　　圖9 性質(zhì)1</b></p><p><b>　　性質(zhì)4.2 </b></p><p><b>

58、　　證明 如圖10，對</b></p><p><b>　　圖10 性質(zhì)2</b></p><p><b>　　性質(zhì)4.3 </b></p><p><b>　　證明 如圖11，對</b></p><p><b>　　圖11 性質(zhì)3</b>&l

59、t;/p><p><b>　　性質(zhì)4.4 </b></p><p>　　證明 這是顯然的，亦可從</p><p><b>　　中得到</b></p><p><b>　　性質(zhì)4.5 </b></p><p><b>　　證明 如圖12，對</

60、b></p><p><b>　　圖12 性質(zhì)5</b></p><p><b>　　性質(zhì)4.6 </b></p><p>　　證明 如圖13，對不難推出上式。</p><p>　　當然，可以將以上方法移植到三階行列式</p><p><b>　　如</

61、b></p><p><b>　　再如</b></p><p><b>　　圖13 性質(zhì)6</b></p><p>　　4.4 行列式幾何意義的應用</p><p>　　雖然Cramer法則是線性代數(shù)中一個基本內(nèi)容,多數(shù)學生能記住其結(jié)論,但絕大多數(shù)學生不能真正理解它的證明思想. 現(xiàn)行多數(shù)教材

62、中關于Cramer 法則證明的主體部分, 本質(zhì)上是對方程組中矩陣的逆矩陣以及它與乘積的討論. 但除個別教材,多數(shù)教材在介紹行列式時,并沒有引入矩陣及其逆的概念, 故而運用行列式展開中代數(shù)余子式的各種運算關系時, 學生大多難以把握其思路,對看上去形式繁雜的計算公式也較為“恐懼”,以至于把一個本質(zhì)上相對簡單的關系看得較為神秘.</p><p>　　下面先給出線性方程組解的幾何解釋,然后由此解釋引導出一個代數(shù)證明. 雖

63、然這個代數(shù)證明不是新的,其他學者曾經(jīng)介紹過本質(zhì)相同的證明方法. 但本文強調(diào)的是由幾何直觀帶來的啟示, 而不是代數(shù)的拼湊技巧. 所以這里揭示的是一種發(fā)現(xiàn)方法,而不是從已知結(jié)論反推的方法.</p><p>　　將n 元一次線性方程組</p><p><b>　　可以表示成其中</b></p><p><b>　　。</b>&l

64、t;/p><p>　　記。當時，從幾何上看，正是列向量在仿射坐標系下的仿射坐標。【8】</p><p>　　下面先通過一個二維圖形說明如何來確定這些仿射坐標. 從圖14可以看出,以與為鄰邊組成的平行四邊形有向面積與以與為鄰邊組成的平行四邊形有向面積相等. 這是因為兩個平行四邊形均是以為底, 為高. 因此,易于看出它們中每一個的有向面積與以為鄰邊的平行四邊形有向面積之比均為. 同理,可以看出與哪

65、些平行四邊形的有向面積之比相關. 因為這些平行四邊形的有向面積可以由行列式給出,所以由以上分析立刻可以“看出”如下結(jié)果</p><p><b>　　圖14 仿射坐標</b></p><p>　　推廣到一般n 維空間的情況,即有</p><p>　　受此啟發(fā),可給出如下關于Cramer 法則主要結(jié)果,即關于方程組(1) 解的唯一性的一個代數(shù)證明

66、。</p><p>　　若滿足方程組（1），則有：</p><p><b>　　即得</b></p><p>　　運用幾何背景解釋一些代數(shù)結(jié)論并啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)其證明思路,不僅有利于學生理解和快捷的接受,也有利于提高學生學習數(shù)學的能力和興趣?！?2】</p><p>　　5 格拉姆-施密特正交化</p>&l

67、t;p>　　線性代數(shù)理論指出，內(nèi)積空間上的一組向量能夠張成一個子空間。Gram-Schmidt正交化提供了一種方法，能夠通過這組向量求出這一子空間上的一組正交基，并可進一步求出對應的標準正交基。</p><p>　　5.1 格拉姆-施密特正交化的基本思想</p><p>　　Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎上構(gòu)造一個新的正交基。</p

68、><p>　　設 。是上的k維子空間，其標準正交基為，且不在上。由投影原理知，與其在上的投影之差</p><p>　　是正交于子空間的，亦即正交于的正交基。因此只要將單位化，即</p><p>　　那么就是在上擴展的子空間的標準正交基。</p><p>　　根據(jù)上述分析，對于向量組張成的空間，只要從其中一個向量（不妨設為）所張成的一維子空間開始（

69、注意到就是的正交基），重復上述擴展構(gòu)造正交基的過程，就能夠得到的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化。 定理5.1 歐幾里得空間的線性子空間必存在規(guī)范正交基?！?】</p><p>　　證明：設是一個線性子空間。有一個基。我們可以下的格拉姆-施密特正交化方法得到一個與上述向量組等價的正交向量組：</p><p><b>　　，</b></p

70、><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　然后再把這個向量組單位化，即令</p><p>　　就可得到的一個規(guī)范正交基。</p><p>　　

71、5.2 格拉姆-施密特正交化方法的幾何解釋</p><p>　　下面我們給出施密特(Schmidt) 正交化方法的幾何解釋, 以幫助學生弄懂施密特正交化方法的指導思想, 以便于牢固掌握之。</p><p>　　定理5.2　從維歐氏空間的任意一組基出發(fā), 都可(經(jīng)施密特正交化方法) 得到的一組標準正交基。</p><p>　　施密特正交化方法為: 首先由來決定, 令

72、</p><p>　　并令, 于是便可得到的一組標準正交基。</p><p>　　當n= 3時, 上述施密特正交化方法有明顯的幾何意義: 即從三個不共面的向量 (這里的向量是自由向量, 不妨設都以原點O 為起點)出發(fā), 設法構(gòu)造出三個兩兩互相垂直的單位向量Z首先將單位化, 得到向量 (如圖15)。然后再把投影到上, 得到向量, 以的終點為起點, 的終點為終點的向量記為, 則, 將單位化得,

73、 則顯然且都是單位向量(如圖16). 【11】</p><p>　　最后, 過的終點P向所確定的平面作垂線, 得垂足Q , 顯然, , 令, 則</p><p>　　將單位化得向量 (如圖17)。于是, 便是我們所要求的三個兩兩互相垂直的單位向量。</p><p>　　圖15 三個向量 圖16 兩個

74、單位化投影</p><p>　　圖17 三個單位化投影</p><p>　　5.3 歐氏空間中向量組正交化過程</p><p>　　下面我們通1個例子具體的來看正交化過程的直觀圖示。</p><p>　　例5.1 ：設是維歐氏空間，是的一個基，由此基得到的一個正交基的過程是：</p><p><b>　　。

75、</b></p><p>　　這一過程在二維幾何空間中的體現(xiàn)是：由兩個不共線（線性無關）的向量得到兩個相互垂直（正交）的向量，我們可以通過直觀圖示來展示正交化過程（見圖18）。</p><p>　　圖18 正交化過程</p><p><b>　　這里，</b></p><p>　　若在中體現(xiàn)上述正交化過程就

76、是：由三個不共面（線性無關）的向量組得到三個兩兩垂直的向量組（正交組），具體圖示（見圖19）?！?2】 </p><p>　　圖19 正交組示圖</p><p><b>　　圖中，</b></p><p><b>　　是在上的正交投影，</b></p><p><b>　　。

77、【15】</b></p><p><b>　　6 結(jié)論</b></p><p>　　本文首先介紹了高等代數(shù)和解析幾何的基本內(nèi)容，讓我們進一步的了解了高等代數(shù)與解析幾何這個門課程。接介紹了高等代數(shù)的幾何背景，并以具體的代數(shù)內(nèi)容展開了敘述。幾何課程與高等代數(shù)課程聯(lián)系密切。一方面, 借助于幾何直觀、幾何解釋, 可以幫助理解、接受抽象的內(nèi)容和方法。只有做到了直觀

78、上懂, 才算真懂。抽象觀念的直觀背景與幾何形象, 實為學生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機會, 以達到真懂的境界。另一方面, 借助于現(xiàn)實空間的幾何, 通過類比、聯(lián)想, 可以使思維較容易轉(zhuǎn)向更抽象的空間形式, 進而提高學生的抽象概括能力和創(chuàng)新精神, 激發(fā)學生的學習興趣, 形成良好的思維品質(zhì)。數(shù)學中許多重要定理的證明大多源于幾何思想或可用幾何圖像作出概括。當我們認真鉆研, 反復琢磨, 掌握了證明的真諦時, 往往會感到這種證明如此簡明、清晰, 全部

79、反映在一種具體的理想圖形之中。數(shù)學中兩大研究對象“ 數(shù)”與“ 形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素。在這個意義下,幾何和代數(shù)是不可分割的。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學的重要思想方法, 在此, 幾何充分發(fā)揮了它作為雙刃工具的作用。在學習代數(shù)時同時考慮到它的幾何背景和解釋, 對代數(shù)的抽象內(nèi)容的理解是十分有益</p><p>　　雖說我們強調(diào)線代中的直觀學習, 也不能不看到它的局限性。形象直觀是它的優(yōu)勢但也決定了直觀學習容易出現(xiàn)的缺點

80、, 那就是容易使同學們的思維活動局限于三維直觀空間。事實上, 許多線代概念沒有幾何解析的例如：高維空間。因此在加深直觀學習的同時, 決不可忽視其它實例和學習方法的應用, 讓同學們既能在直觀世界中看清概念和方法的廬山真面目, 又能跨越直觀空間, 在抽象世界中漫游, 正確地把握其中的辯證關系是學習中的關鍵。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　

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