圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探

1、<p>　　圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探</p><p>　　———源于課本一份《閱讀材料》的探究反思</p><p>　　內(nèi)蒙古巴彥淖爾市奮斗中學(xué)：王玨 指導(dǎo)教師：張紅</p><p>　　學(xué)習(xí)完圓錐曲線的方程和性質(zhì)后，課本上有一則閱讀材料引起了同學(xué)們的興趣，在老師的指導(dǎo)下，我們不僅了解了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)這一常見現(xiàn)象，而且進(jìn)一步對(duì)它進(jìn)行了證

2、明和探究，并對(duì)它在 數(shù)學(xué)解題和生產(chǎn)科技等方面的應(yīng)用有了一定的認(rèn)識(shí)。課后我經(jīng)過反思與整理，寫成此文。</p><p><b>　　圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)</b></p><p>　　1．1橢圓的光學(xué)性質(zhì)： 從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上； (見圖1.1)</p><p>　　橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來設(shè)

3、計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置．例如在F1處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對(duì)F2處的物體加熱．</p><p>　　1．2雙曲線的光學(xué)性質(zhì) ：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；(見圖1.2)．</p><p>　　雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用．</p><p>

4、;　　1．3 拋物線的光學(xué)性質(zhì) ： 從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖1.3）</p><p>　　拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇．例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向．衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對(duì)稱

5、軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn)，把對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果．最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的．</p><p>　　要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先必須將這樣一個(gè)光學(xué)實(shí)際

6、問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行解釋論證。</p><p><b>　　二、問題轉(zhuǎn)化及證明</b></p><p>　　2．1圓錐曲線的切線與法線的定義</p><p>　　設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線連續(xù)變動(dòng)時(shí)，，兩點(diǎn)沿著曲線漸漸靠近，一直到，重合為一點(diǎn),此時(shí)直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線，過與直線垂直的直線稱為曲線在點(diǎn)處的法線。</p>

7、<p>　　此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：</p><p>　　2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明</p><p>　　預(yù)備定理 1.若點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，則橢圓過該點(diǎn)的切線方程為：。</p><p><b>　　證明：由……①</b></p><p>　　1°當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的切

8、線斜率一定存在，且</p><p><b>　　∴對(duì)①式求導(dǎo)：</b></p><p>　　∴∴切線方程為…………②</p><p><b>　　∵點(diǎn)在橢圓上，</b></p><p>　　故 代入②得…………③</p><p>　　而當(dāng)時(shí)， 切線方程為，也滿足③式&l

9、t;/p><p>　　故是橢圓過點(diǎn)的切線方程.</p><p>　　預(yù)備定理2. 若點(diǎn)是雙曲線上任一點(diǎn)，則雙曲線過該點(diǎn)的切線方程為：</p><p><b>　　證明：由……①</b></p><p>　　1°當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的切線斜率一定存在，且</p><p><b>　　∴對(duì)①式求

10、導(dǎo)：∴</b></p><p>　　∴切線方程為…………②</p><p><b>　　∵點(diǎn)在雙曲線上，</b></p><p>　　故 代入②得…………③</p><p>　　而當(dāng)時(shí)， 切線方程為，也滿足③式</p><p>　　故是雙曲線過點(diǎn)的切線方程.</p>

11、<p>　　預(yù)備定理 3.若點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，則拋物線過該點(diǎn)的切線方程是</p><p>　　證明：由，對(duì)求導(dǎo)得：</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，切線方程為</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　而………………①</b>&

12、lt;/p><p>　　而當(dāng)時(shí)，切線方程為也滿足①式</p><p>　　故拋物線在該點(diǎn)的切線方程是.</p><p>　　定理1. 橢圓上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)P處的法線平分（圖2.1）</p><p>　　已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過橢圓上一點(diǎn)的切線，為垂直于且過點(diǎn)的橢圓的法線，交軸于</p>

13、<p><b>　　設(shè)，</b></p><p><b>　　求證：.</b></p><p><b>　　證法一：在上，，</b></p><p>　　則過點(diǎn)的切線方程為：</p><p>　　是通過點(diǎn)且與切線垂直的法線，</p><p>

14、;<b>　　則</b></p><p><b>　　∴法線與軸交于</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　又由焦半徑公式得：</b></p>

15、<p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴是的平分線</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∵，故可得</b></p><p>　　證法二：由證法一得切線的斜率，而的斜率，的斜率<

16、/p><p><b>　　∴到所成的角滿足</b></p><p><b>　　∵在橢圓上</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　同理，到所成的角滿足</p><p><b>　　∴</b></p&g

17、t;<p><b>　　而</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　證法三：如圖，作點(diǎn)，使點(diǎn)與關(guān)于切線對(duì)稱，連結(jié)，交橢圓于點(diǎn)</p><p>　　下面只需證明點(diǎn)與重合即可</p><p>　　一方面，點(diǎn)是切線與橢圓的唯一交點(diǎn)，則，是上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最

18、小值（這是因?yàn)樯系钠渌c(diǎn)均在橢圓外）</p><p>　　另一方面，在直線上任取另一點(diǎn)</p><p><b>　　∵</b></p><p>　　即也是直線上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而與重合</p><p><b>　　即而得證</b></p><p>　　定理2

19、 雙曲線上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分（圖2.2）；</p><p>　　已知：如圖，雙曲線的方程為，，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過雙曲線上的一點(diǎn)的切線，交軸于點(diǎn)，設(shè)，</p><p><b>　　求證：</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p>&

20、lt;b>　　兩焦點(diǎn)為， </b></p><p><b>　　在雙曲線上</b></p><p><b>　　則過點(diǎn)的切線</b></p><p><b>　　切線與軸交于。</b></p><p>　　由雙曲線的焦半徑公式得</p><

21、p>　　雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　故 ，</b></p><p><b>　　∴切線為之角分線。</b></p><p>　　定理3 拋物線上一個(gè)點(diǎn)P的焦半徑與過點(diǎn)P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點(diǎn)P

22、處法線平分（圖2.3）。</p><p>　　已知：如圖，拋物線的方程為為，</p><p>　　直線是過拋物線上一點(diǎn)的切線，</p><p><b>　　交軸于，，</b></p><p>　　反射線與所成角記為，</p><p><b>　　求證：</b></p&g

23、t;<p>　　證明： 如圖 ，拋物線的方程為</p><p><b>　　，點(diǎn)在該拋物線上，</b></p><p><b>　　則過點(diǎn)的切線為</b></p><p><b>　　切線與軸交于</b></p><p>　　焦點(diǎn)為，(同位角)</p>

24、;<p><b>　　∵</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　通過以上問題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過的知識(shí)證明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用呢？</p><p>　　三

25、、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用</p><p>　　3．1解決入射與反射問題</p><p>　　例1. 設(shè)拋物線，一光線從點(diǎn)A(5，2)射出，平行 的對(duì)稱軸，射在 上的P點(diǎn)，經(jīng)過反射后，又射到上的Q點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為____，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為______。</p><p>　　解：如圖，直線平行于對(duì)稱軸且A(5，2)，∴則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）</p>&l

26、t;p><b>　　∴反射線過點(diǎn)</b></p><p><b>　　設(shè)，則</b></p><p><b>　　解得：</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　例2. 已知橢圓方程為 1，若有光束自焦點(diǎn)A(3，0)射出，

27、經(jīng)二次反射回到A點(diǎn)，設(shè)二次反射點(diǎn)為B，C，如圖3.1.2所示，則△ABC的周長(zhǎng)為　　　　　。</p><p>　　解：∵橢圓方程為 1中，</p><p>　　∴A(3，0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)</p><p>　　∴自A(3，0)射出的光線AB反射后，反射光線AC定過另一個(gè)焦點(diǎn) (-3，0)</p><p><b>　　故△ABC的

28、周長(zhǎng)為</b></p><p>　　例3.雙曲線，又，已知A(4，2)，F(xiàn)(4，0)，若由F射至A的光線被雙曲線反射，反射光通過P(8，k)，則k 　　　　　。</p><p>　　解：∵入射線FA反射后得到的光線AP的反向延長(zhǎng)線定過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)</p><p><b>　　∴</b></p><p>

29、　　3．2 解決一類“距離之和”的最值問題</p><p>　　張奠宙教授說“在一般情況下，光線在傳播過程中，總是選擇最近的路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺”層面上的結(jié)論，但卻為我們研究一類“距離之和” 取值范圍問題時(shí)指明了思考的方向，從而解決了一個(gè)從“想不到”到“想得到”的關(guān)鍵問題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種“經(jīng)驗(yàn)、感覺”依然是很有價(jià)值的、不可替代的?！蔽易x了他的文章，深受啟發(fā)

30、，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見到而又覺得復(fù)雜的一類最值問題。</p><p>　　例4．已知橢圓C：，F(xiàn)1、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(2，1)，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，求|MF1|+|MQ|的取值范圍。</p><p><b>　　（一）分析猜想：</b></p><p>　?。?）經(jīng)計(jì)算，Q（2，2）點(diǎn)在橢圓內(nèi),由于橢圓是封閉圖形，因此

31、|MF1|+|MQ|應(yīng)該有一個(gè)封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。</p><p>　　（2）同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過點(diǎn)Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（如圖3.2.1，光線從F1P1Q），二是被下半橢圓反射（如圖3.2.2，光線從F1P2F2Q），究竟哪種情況距離之和更小呢？顯然，根據(jù)橢圓定義，圖3.2.1中的

32、|P1F1|+|P1Q|<2a(2a為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng))，而圖3.2.2中的|P2F1|+|P2Q|>2a，可見圖3.2.1所示的情況距離之和更小。</p><p>　　但是，最大值又是多少呢？圖3.2.2所示的光線又有什么特點(diǎn)呢？</p><p>　　將圖3.2.1.和圖3.2.2中的光線反射路線合并圖3.2.3，由于|P2Q| +|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值4a(

33、a為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng))，而|P1Q|+|P1F1|由前面知最小，由此猜測(cè)|P2Q| +|P2F1|可能就是最大值。</p><p>　?。ǘ┳C明|P1F1|+|P1Q|是最小值。</p><p>　　如圖3.2.2，連接Q F2，延長(zhǎng)交橢圓于P2，在橢圓上另取一點(diǎn)，由橢圓定義知：|P2Q|-|QF2| +|PF1| = |F1| +|F2|（*），因?yàn)閨F2|≥|Q|-|QF2|，代入（*）

34、式得|P2Q|-|QF2| +|P2F1|≥|F1| +|Q|-|QF2|所以，|P2Q| +|P2F1|≥|F1| +|Q|。猜想得證。</p><p><b>　?。ㄈ┯?jì)算：</b></p><p><b>　　綜上所述，只需求出</b></p><p><b>　　可得最小值為</b><

35、/p><p><b>　　最大值為.</b></p><p>　　例5．已知雙曲線C：， F1、、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求|MF2|+|MQ|的取值范圍。</p><p>　　分析猜想：經(jīng)計(jì)算，Q點(diǎn)在雙曲線右支開口內(nèi)部。由于雙曲線是不封閉曲線，顯然|MF2|+|MQ|可以無限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范圍，關(guān)鍵是求出

36、|MF2|+|MQ|的最小值。根據(jù)光線的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：從F1射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過點(diǎn)Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的，再結(jié)合雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)），可作出從F1射出被雙曲線反射后經(jīng)過點(diǎn)Q的光線：連接F1Q，與雙曲線的交點(diǎn)即為使得|MF2|+|MQ|最小的點(diǎn)，設(shè)為P點(diǎn)，光線從F2PQ。（見圖2）</p><p>　?。ǘ┳C明：如圖2：

37、按猜想作出點(diǎn)P，由于所求點(diǎn)P顯然不在雙曲線的左支上（此時(shí)顯然距離之和不會(huì)最?。?，故在右支上另取一點(diǎn)，由雙曲線定義知：|PF1|-|PF2| = |F1| -|F2|，即|PF1|+|F2| = |F1| +|PF2|，因?yàn)閨PF1|+|PQ|≤|Q| +|F1|，兩邊同加|PF2|得：所以|PF1|+|PQ| +|PF2|≤|Q| +|F1|+ |PF2|=|Q| +|PF1|+|F2|，故|PQ|+|PF2|≤|Q|+|F2|，猜想得

38、證。</p><p>　?。ㄈ┯?jì)算：由題意知</p><p><b>　　∵</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p>&

39、lt;p><b>　　=</b></p><p>　　例6．已知拋物線C：， F是其焦點(diǎn)，點(diǎn)，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求|MF|+|MQ|的取值范圍。。</p><p>　　分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒有最大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對(duì)稱軸平行，反之也成立），結(jié)合光線的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：過Q與對(duì)

40、稱軸平行的直線與拋物線的交點(diǎn)可能就是使距離之和最小的點(diǎn)，設(shè)為P點(diǎn)（見圖3.2.6）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。且|PF|+|PQ|≥3</p><p>　　3．3． 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問題時(shí)起簡(jiǎn)捷作用。</p><p>　　光線反射總是滿足反射定律（入射角等于反射角），光線被曲線反射也不例外，此時(shí)的法線就是過反射點(diǎn)的曲線的切線的垂線。可見，曲線的切線和與曲線有關(guān)的

41、反射問題有著密切聯(lián)系。</p><p>　　以橢圓為例：如圖3.3.1，l是過橢圓周上一點(diǎn)P的橢圓的切線，m是P點(diǎn)處的法線，光線從F1（F2）射出被橢圓反射經(jīng)過F2（F1），滿足∠1=∠2，且∠3=∠4。</p><p>　　例7．已知l是過橢圓C：上一動(dòng)點(diǎn)P的橢圓C的動(dòng)切線，過C的左焦點(diǎn)F1作l的垂線，求垂足Q的軌跡方程。</p><p>　　分析：如圖3.3.2

42、，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)繁瑣。由于l是橢圓的切線，切點(diǎn)為P，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：l是∠F1PF2的外角平分線， F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在F2P的延長(zhǎng)線上。這樣，由于| P F1| =|P|，故</p><p>　　|F2|=|P F 1|+|PF2|=2a=8，而Q、O分別是F1、F2的中點(diǎn)，所以|QO|=4。從而Q點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心、以4

43、為半徑的圓。即點(diǎn)Q的方程為</p><p>　　3．4在生產(chǎn)生活中的作用</p><p>　　例8．某種碟形太陽能熱水</p><p>　　器的外形示意圖如圖3.4.1，其中F為加熱點(diǎn)；碟形反射壁是拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；拋物線以cm為單位的設(shè)計(jì)尺寸如圖3.4.2．為了達(dá)到最佳加熱效果，F(xiàn)應(yīng)距碟底多少？</p><p>　　解 ：以

44、碟形內(nèi)壁底為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為x軸，開口方向?yàn)閤軸的正向，建立坐標(biāo)系如圖3.4.2，則內(nèi)壁拋物線方程為y2=2px．據(jù)所示尺寸，拋物線過坐標(biāo)為(40,85)的點(diǎn)，所以 852=2p40=80p，p90.3．</p><p>　　加熱點(diǎn)F應(yīng)置于拋物線的焦點(diǎn)．焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)(45.2,0)．所以F應(yīng)距碟底約45.2cm</p><p>　　圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是奇妙的，奇妙的背后蘊(yùn)含著