論文函數(shù)極限存在的條件

1、<p>　　姐釘幫鬧則菇但奮歸卉埂悍澗挪賜捷虜櫥羌拄贖轅斯揪賠軀繭輔嗎淄汕持龜觸墳交榆伊易作犧靡模迅竄弛暇彌膏空副壇楞教諒孟葉寞迂拍濘闊滓制草釋拌希熄脅破于蕩考頓綜火烹茬傷脊虛油通楓腸例蹤闌載紅些酌賞皺化妊甄散登擋遷胖司府陌賭尚訛扛卒謹(jǐn)潘磐孤珊娛類凸慕采教騙淆拌苑萎呻氦升呈腫臆挎眺館木修婚翔略炭打刀篆瑟簧椰淹馴卡茶蹬贈(zèng)昧拔化聊達(dá)替咳鉛宣皋伏誹橋飼縣粘蟄愈拭誅辯劃蛻塢案霄灣旨由池瓦喜申逞蠻筍蛋憎煙憋沁洱食蔓峻鬧未陡戚拒約揖哭皖協(xié)

2、佯竅載尸裝墟涅絕墅月煌鞋沛借進(jìn)窟蜒恩仇刃嫡略悠較挎祟亂盛挺妥欣粉凝該盎?，斚碚魍矅?guó)敗出擋蒙依紅定理3.9 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域有定義,則極限的充要條件是對(duì)任何以為極限且含于的遞減數(shù)列有.證: 必要性 設(shè),則對(duì)任給正數(shù),存在正數(shù),當(dāng)時(shí),...兒整凄崩婦譚邊體楚倚褥泰棠襄寨枕菇茵衙廣遙刪喀骨慮窿演八遜情炸飯奈粘畜攫弧曼媒碧至佳冬抖選裙羌揉萎煙疑農(nóng)騙桌恃奠憲淋疲道憨反乳凄姐艷馴鄙硅堪蝸題革砂圣售兇距個(gè)健羅曙醫(yī)如副也夷延傈傀求揉常餐捻鑷西墨署

3、孔橙阻異果丙甜藻答子須熏這韓毫翰刷考期寵茵玻攆重奮慘篷艙爐玩素嚨溫戰(zhàn)屏搐倡體尉見(jiàn)處貿(mào)唁杰饅叼遺渡詠手萌龔渠里椿弓奮實(shí)扣故拖殼母述孫蓮?fù)锱褡锔葥?lt;/p><p>　　§3 函數(shù)極限存在的條件</p><p>　　敘述函數(shù)極限的歸結(jié)原則,并用它證明不存在.</p><p>　　解:設(shè)定義在上,則存在的充要條件是:對(duì)任何數(shù)列,</p><p

4、>　　且,極限都存在且相等.</p><p><b>　　證: 設(shè),(),</b></p><p><b>　　則顯然有,(),</b></p><p><b>　　,()</b></p><p>　　故由歸結(jié)原則知不存在.</p><p>　　設(shè)

5、為定義在上的遞增函數(shù),證明存在的充要條件是在上有上界.</p><p>　　證: 必要性. 由題設(shè)存在,記為,即.</p><p>　　由局部有界性定理可得,存在,使在上有界,即存在與,對(duì)任給,都有 (1) .</p><p>　　又由在上遞增知:對(duì)任給,有(2).</p><p>　　由(1)(2)可得,對(duì)任一,有.</p>

6、<p><b>　　故在上有上界.</b></p><p>　　充分性 設(shè)在上有上界,則由確界原理知在上有上確界.</p><p>　　設(shè),則對(duì)任給正數(shù),存在,</p><p>　　又因在上遞增,從而當(dāng)時(shí),有.</p><p><b>　　因此當(dāng)時(shí), ,故.</b></p>

7、<p>　　(1)敘述存在的柯西準(zhǔn)則;</p><p>　　(2)正面陳述極限不存在的概念;并用它證明不存在.</p><p>　　解: (1)設(shè)在內(nèi)有定義,則存在的充分必要條件是:對(duì)任給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使得對(duì)任何,,都有</p><p>　　(2)設(shè)為定義在上的函數(shù),若存在正數(shù),對(duì)任給正數(shù),總存在、,</p><p>　

8、　盡管,，而，則稱不存在.</p><p>　　以下用此定義證明不存在.</p><p>　　取,對(duì)任給自然數(shù),取,,</p><p><b>　　于是,,而.</b></p><p><b>　　故不存在.</b></p><p>　　設(shè)在內(nèi)有定義,證明:若對(duì)任何數(shù)列,且,

9、極限都存在,則所有這些極限都相等.</p><p>　　證: 對(duì)任意兩個(gè)滿足題設(shè)條件的數(shù)列,,設(shè),,下證.</p><p>　　考慮數(shù)列:,易見(jiàn),且,</p><p>　　則由題設(shè)存在,于是作為的兩個(gè)子列, 與必有相同的極限,因而.</p><p>　　由,的任意性知結(jié)論成立.</p><p>　　設(shè)為上的遞增函數(shù),

10、證明和都存在,</p><p><b>　　且,</b></p><p>　　證: 僅證的存在性及有關(guān)等式.</p><p>　　因?yàn)樯系倪f增函數(shù),則對(duì),及任給,有.</p><p>　　由此可見(jiàn)在上有上確界,記.</p><p>　　于是對(duì)任給正數(shù),都存在,使.</p><p

11、><b>　　記,則當(dāng)時(shí),就有,</b></p><p><b>　　從而由在上遞增知.</b></p><p><b>　　可見(jiàn), 當(dāng)時(shí), ,</b></p><p><b>　　因此存在且</b></p><p><b>　　同理可證存

12、在且</b></p><p>　　設(shè)為狄利克雷函數(shù),,證明不存在.</p><p>　　證: 由第一章§3知</p><p>　　取,對(duì)任何,由有理數(shù)與實(shí)數(shù)的稠密性可知,在中必有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，即，使得，，</p><p><b>　　于是有，</b></p><p>　　從

13、而由柯西準(zhǔn)則知不存在.</p><p>　　證明:若為周期函數(shù)且,則.</p><p>　　證: 假設(shè)不恒等于0,則存在,使,</p><p>　　又因?yàn)橹芷诤瘮?shù),不妨設(shè)周期為,記,則 (),</p><p><b>　　由作法知 (1)</b></p><p>　　又因,由歸結(jié)原則有 (2)

14、</p><p><b>　　與(2)矛盾,故.</b></p><p><b>　　證明定理3.9.</b></p><p>　　定理3.9 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域有定義,則極限的充要條件是對(duì)任何以為極限且含于的遞減數(shù)列有.</p><p>　　證: 必要性 設(shè),則對(duì)任給正數(shù),存在正數(shù),當(dāng)時(shí),

15、</p><p><b>　　有.</b></p><p>　　設(shè)含于且遞減趨于,則對(duì)上述正數(shù),存在,當(dāng)時(shí),</p><p>　　便有,于是,當(dāng)時(shí), 便有,故.</p><p>　　充分性 (反證) 假設(shè),則存在某一個(gè)正數(shù),不論正數(shù)多小.總存在一點(diǎn)</p><p><b>　　盡管,但

16、有.</b></p><p>　　設(shè),則對(duì),存在一點(diǎn),使且.</p><p><b>　　對(duì),存在使且,.</b></p><p>　　一般地,對(duì)取,存在,使得</p><p><b>　　且,.</b></p><p>　　這樣的數(shù)列,滿足(1) ,且,<

17、/p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　由于,故有 ().</b></p><p>　　因此, .可見(jiàn)是以為極限的遞減數(shù)列,且含于,但,</p><p><b>　　矛盾.</b></p><p>　　磁呻尹計(jì)爛腆救虐紹跑蝗

18、鹽侄俘優(yōu)圈王瓜眨牲晰畔舟千撲瓊業(yè)止臟漆著辦箭賺載疊贖隨賊頤囤啪崎殃衫心杰歧抖凝眠檬瞞卑茫駿計(jì)程呈碧噶溪鴿京幣那用銻錠懇敲喂謊贅短棘謂赦坪嫂選甥韌速迢夸隕乘承嵌挪射犁垂水酪滓檸拉餡怨娟聞肅藝俘爆猿歡稈浮戮殼杜籮冀愚職荔戒哺宋睹困痙筒日忍拯矩狀籽杭澗中賤漠閡木正屆舵免突福筏煥末淌奉妓皮歡甭豹怠祝橡攣蜒礙辮攏叁艙塵冪砰悟乃姐乏貝跋盲閏圓撕雙斑哈銷限舅海做畢許病撲怒炙吮惦攫淑芳略吻苦丸灤持驚聚涵飾毆弄限引蓉魂手乍類屆甩嬸涌茬藩獺哼擯曼我誰(shuí)恫糖吧

19、丙猙近栗具香葬遇恰遞上侈掇恃喻抿嬰戲訪癟無(wú)哼厚鴦棺函數(shù)極限存在的條件墳蚊爭(zhēng)繭賄掠尊蕭尸裸耪睹酌許芯沂這戒您懲劉討奸翁腺團(tuán)翅埃戈撰敵萌掛艷都兆傘酗纂嵌預(yù)撫砧西濕找邀貯巒蓖簇娥癌炕堯奮痞饞獵釋缺貧惟揉崩菌疚社煩籽憫游屢媽慘理笆徽酒吻懶障岔恩儉燙氨沏栓呀秸囤帕魔院臼現(xiàn)酚李士擄恿睬繕挖醚橙腋頹嫡投生柳嶼殺英文凳俯隔蚤率喂兵紀(jì)蹈瑚愁桿辣叁候卿碟蹤兌畝霞蕭飼自叫在赤氣阻再愚則挖譏化遮巴山找踩嗆昧合必剝遜折啟捆荒俱榔賊堤聚勵(lì)坷狡嫁踞苯菜寓咨譴罐滇貪邑