畢業(yè)論文--關(guān)于函數(shù)極限的多種求法

1、<p><b>　　目錄</b></p><p>　　1 一元函數(shù)極限的求法1</p><p>　　1.1 一元函數(shù)極限的定義1</p><p>　　1.2 一元函數(shù)極限求解方法2</p><p>　　1.2.1 利用定義求極限2</p><p>　　1.2.2 利用Cauchy

2、求極限2</p><p>　　1.2.3 利用單調(diào)有界原理求極限3</p><p>　　1.2.4 利用數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系求極限3</p><p>　　1.2.5 利用極限的運算法則求極限4</p><p>　　1.2.6 利用等價代換求極限4</p><p>　　1.2.7 利用初等變形求極限

3、5</p><p>　　1.2.8 利用夾逼性準(zhǔn)則求極限5</p><p>　　1.2.9 利用兩個重要極限求極限6</p><p>　　1.2.10 利用變量替換求極限7</p><p>　　1.2.12 利用洛必達法則求極限8</p><p>　　1.2.13 利用Toylor公式求極限9</p&

4、gt;<p>　　1.2.14 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限10</p><p>　　1.2.15 利用微分中值定理求極限11</p><p>　　1.2.16 利用積分定義求極限12</p><p>　　1.2.17 利用積分中值定理求極限13</p><p>　　1.2.18 利用級數(shù)求極限13</p>&l

5、t;p>　　1.2.19 利用黎曼引理求極限14</p><p>　　2 二元函數(shù)極限的求法14</p><p>　　2.1 二元函數(shù)極限的定義14</p><p>　　2.2 二元函數(shù)極限的若干求法16</p><p>　　2.2.1 利用定義求極限16</p><p>　　2.2.2 利用多元函數(shù)的

6、洛必達法則求極限16</p><p>　　2.2.3 利用連續(xù)性求極限17</p><p>　　2.2.4 利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量求極限18</p><p>　　2.2.5 通過對分式的分子或分母有理化求極限18</p><p>　　2.2.6 利用極限的夾逼性準(zhǔn)則求極限18</p><p>

7、;　　2.2.7 利用等價無窮小變換求極限19</p><p>　　2.2.8 利用變量替換, 將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限求極限19</p><p>　　2.2.9 利用取對數(shù)法求極限19</p><p>　　2.2.10 用三角變換法求極限20</p><p>　　2.2.11 利用一元函數(shù)中的極限推廣求極限20</

8、p><p>　　2.2.12 利用無窮小的性質(zhì)求極限20</p><p>　　2.2.13 利用()法求極限21</p><p><b>　　參考文獻22</b></p><p>　　關(guān)于函數(shù)極限的多種方法</p><p>　　作者 楊松 指導(dǎo)教師 馬玲副教授</p><p

9、>　?。ㄕ拷瓗煼秾W(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湛江 524048）</p><p>　　摘 要 本文較為全面地總結(jié)了一元函數(shù)，二元函數(shù)極限的若干求法，并通過例題加以說明.</p><p>　　關(guān)鍵詞 極限；方法 </p><p>　　About the Number of Methods Solution Functional Limit</p>&

10、lt;p><b>　　Yangsong</b></p><p>　　( Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal University</p><p>　　Zhanjiang,524048 China)</p><p>　　Abstract The pap

11、er more comprehensively summarizes the number of methods of solution of functional limit about the functions of one variable and binary function limit ,and examples to illustrate.</p><p>　　Keywords limit;met

12、hods</p><p>　　1 一元函數(shù)極限的求法</p><p>　　1.1 一元函數(shù)極限的定義[1]</p><p>　　定義1 設(shè)為定義在上的函數(shù), 為定數(shù), 若對任給的, 存在正數(shù)(）, 使得當(dāng)時有 </p><p>　　則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以為極限,記作</p><p><b>　　或</

13、b></p><p>　　定義2 設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義, 為定數(shù).若對任給的, 存在正數(shù), 使得當(dāng)時，有 , 則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以為極限, 記作 </p><p>　　1.2 一元函數(shù)極限求解方法</p><p>　　1.2.1 利用定義求極限</p><p>　　例1[2] 用極限的定義證明</p>&

14、lt;p>　　證 ，要（此式解出n有困難），記</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　此式可改寫成</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得</b></p><

15、p>　?。ó?dāng)n>1時）至此要.只要,即，故令.則n>N時有.</p><p>　　注意 用極限的定義時, 只需要證明存在, 故求解的關(guān)鍵在于不等式的建立. 在求解的過程中往往采用放大、縮小等技巧, 但不能把含有的因子移到不等式的另一邊再放大, 而是應(yīng)該直接對要證其極限的式子一步一步放大, 有時還需加入一些限制條件, 限制條件必須和所求的(或)一致, 最后結(jié)合在一起考慮.</p>

16、<p>　　1.2.2 利用Cauchy求極限</p><p>　　例2[2] 設(shè)，試證收斂.</p><p><b>　　證 因為</b></p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　= ，</b></p><p>

17、;　　，（只要（即）），故令，則n>N時，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　收斂獲證. </b></p><p>　　注意 在事先不知道極限的猜測值時可選擇Cauchy準(zhǔn)則.</p><p>　　1.2.3 利用單調(diào)有界原理求極限</p>

18、<p>　　定理1[1] 在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.</p><p>　　例3[2] 設(shè)，證明存在.</p><p><b>　　證 利用不等式</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得</b></p>

19、<p><b>　?。ㄓ邢陆纾?</b></p><p><b>　　= ，</b></p><p>　　即. 單調(diào)下降，有下界.故收斂.</p><p>　　注意 利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在, 主要方面的性質(zhì): 單調(diào)性和有界性. 解題的難點在于判斷單調(diào)性, 一般通過數(shù)學(xué)歸納法、減法、除法比較前后項．<

20、/p><p>　　1.2.4 利用數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系求極限[2]</p><p>　　例4 證明從任一數(shù)列中必可選出一個（不一定嚴(yán)格）單調(diào)的子數(shù)列. </p><p>　　證 （我們來證明：如果不存在遞增子序列，則必存在嚴(yán)格遞減的子序列）假若中存在（不一定嚴(yán)格的）遞增子序列，則問題已被解決.若中無遞增子序列，那么，使得，恒有.同樣在中也無遞增子序列.于是

21、又，使得，恒有.如此無限進行下去，我們便可以找到一嚴(yán)格遞增的子序列.</p><p>　　1.2.5 利用極限的運算法則求極限</p><p>　　定理2 已知, 都存在, 極限值分別為, , 則 </p><p><b>　　(1) ；</b></p><p><b>　　(2) ；</b>&l

22、t;/p><p>　　(3) （此時需成立).</p><p><b>　　例 5 求.</b></p><p><b>　　解: 原式 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　注意1 對于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限,

23、 可以采用極限運算法則, 使用時需要先對函數(shù)做某些恒等變換或化簡, 變換的方法通常有分式的通分、約分、分解因式、分子分母有理化、三角函數(shù)的恒等變化、拆項消去法、比較最高次冪法等.</p><p>　　注意2 運用極限法則時, 必須注意只有各項極限都存在(對商, 還要分母極限不為零)時才能適用.</p><p>　　1.2.6 利用等價代換求極限</p><p>&

24、lt;b>　　例6 求</b></p><p><b>　　解 因為，故</b></p><p><b>　　原式= .</b></p><p>　　要點：在求乘除式極限里，其因子可用等價因子代替，極限不變.最常用的等價關(guān)系如：當(dāng)時，</p><p>　?。ㄆ渲衋>0,b

25、0）.</p><p><b>　　還有.</b></p><p>　　1.2.7 利用初等變形求極限</p><p><b>　　例7 求,設(shè)</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　解 乘以.<

26、/b></p><p><b>　　(當(dāng)時)（）.</b></p><p>　　要點：用初等數(shù)學(xué)的方法將變形，然后求極限.</p><p>　　1.2.8 利用夾逼性準(zhǔn)則求極限 </p><p>　　定理3[1] 設(shè), 且在某一空心鄰域內(nèi)</p><p>　　有

27、 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　則 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例8 求.</b></p><p>　　解: 當(dāng)時, 有

28、 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　從而 ,</p><p>　　由夾逼準(zhǔn)則得 ,</p><p>　　所以 .</p><p>　　注意1 夾逼準(zhǔn)則多適

29、用于所考慮的函數(shù)比較容易適度放大或縮小, 而且放大和縮小的函數(shù)是容易求得相同的極限. 基本思想是把要求解的極限轉(zhuǎn)化為求放大或縮小的函數(shù)或數(shù)列的極限.</p><p>　　注意2 利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)極限的關(guān)鍵：</p><p>　?。?）構(gòu)造函數(shù), , 使；</p><p>　?。?）, 由此可得.</p><p>　　1.2.9 利用兩個重

30、要極限求極限</p><p>　　兩個重要極限:（1)； (2).</p><p>　　根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限運算法則, 可將以上兩個公式針對遞推數(shù)列, 必須驗證數(shù)列兩個進行推廣：(1) ()；</p><p><b>　　(2) .</b></p><p><b>　　例9 .</b></p

31、><p><b>　　解: </b></p><p>　　1.2.10 利用變量替換求極限</p><p>　　要點：為了將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新的極限過程.</p><p>　　例10 若，，試證</p><

32、;p>　　解 令，，則時，.于是</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　. （1）</p><p>　　當(dāng)時第二、三項趨向零.現(xiàn)證第四項極限亦為零.</p><p>　　事實上，因(當(dāng) 時)，故

33、有界，即，使得</p><p><b>　　（），故</b></p><p>　　從而（1）式以為極限.</p><p>　　1.2.11 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限（適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限）</p><p>　　利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限主要應(yīng)用下列結(jié)果：</p><p>　　(1)若f(

34、x)在處連續(xù)，則 f(x)= f()；</p><p>　　(2)若（x）=A，y=f(u)在u=A處連續(xù)則f[(x)]=f(A);</p><p>　　(3)若f(x)=A>0, g(x)=B,則=</p><p><b>　　例11： </b></p><p><b>　　解 </b>&

35、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于初等函數(shù)在有定義的地方皆連續(xù)，</p><p><b>　　原極限.</b></p><p>　　1.2.12 利用洛必達法則求極限</p><p>　　洛比達法則是求“”型和“”未定式極限的有效方法，但是非未定

36、極限卻不能求。（0-，-，，，型未定式可以轉(zhuǎn)化為“”型和“”未定式）</p><p><b>　　定理4：若</b></p><p>　?。╥） f(x)=0，g（x）=0</p><p>　?。╥i）f與g在的某空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且g（x）≠0</p><p>　?。╥ii）=A（A可為實數(shù)，也可為±或），則=

37、=A</p><p>　　此定理是對“”型而言，對于函數(shù)極限的其他類型，均有類似的法則。</p><p>　　例12[2] 求極限</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故原式=.<

38、/b></p><p>　　注意 (1)每次在使用法則之前，務(wù)必考察它是否屬于七種不定型，否則不能用;</p><p>　　(2)一旦用法則算不出結(jié)果，不等于極限不存在.例如，就是如此.這是因為法則只是充分條件，不是必要條件.</p><p>　　(3) 型的法則使用時，只需檢驗分母趨向無窮大即可，分子不趨向無窮大也沒關(guān)系.</p><p

39、>　　1.2.13 利用Toylor公式求極限</p><p><b>　　例13 求極限</b></p><p><b>　　解 原式=</b></p><p>　　1.2.14 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限</p><p>　　定義3 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義, 若極限 </p&g

40、t;<p>　　存在,則稱函數(shù)在點處可導(dǎo), 并稱該極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù), 記作.</p><p>　　例14 設(shè)存在, 求.</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例15 求.</b&g

41、t;</p><p>　　解 這是型極限,先轉(zhuǎn)化成, 其指數(shù)是型極限, 由數(shù)列極限于函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的定義知</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得</p><p><b>　　原式.</b></p><p>　　注意 對于一

42、般抽象函數(shù)求極限時, 如果已知它的導(dǎo)數(shù)是存在的, 則經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限.</p><p>　　1.2.15 利用微分中值定理求極限</p><p>　　1.2.15.1 用拉格朗日中值定理求極限（或柯西中值定理）</p><p>　　定理5[1] (拉格朗日中值定理)若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；&

43、lt;/p><p>　　(2)在開區(qū)間上可導(dǎo),</p><p>　　則在上至少存在一點,使得 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　例16 求,其中.</p><p>　　解 由題意, 可對和分別應(yīng)用拉格朗日中值定理, </p><p>　　

44、則 原式=</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=（其中</b></p><p><b>　　例17 計算.</b></p><p>　　解 設(shè), 由于在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo). 于是, 由微分中值定理知</p&g

45、t;<p><b>　　,</b></p><p>　　當(dāng) , 所以 .</p><p>　　1.2.15.2 用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式) </p><p><b>　　例18 計算 .</b></p><p><b>　　解 因為, ,</b

46、></p><p>　　所以 .</p><p>　　注意1 常用展式：</p><p><b>　　, 等. </b></p><p>　　注意2 在計算過程中, 要注意高階無窮小的運算及處理.</p><p>　　1.2.16 利用積分定義求極

47、限</p><p>　　定義4[1] 設(shè)在上的一個函數(shù), 是一個確定的實數(shù). 若對任給的正數(shù), 總存在某一正數(shù), 使得對的任何分割, 以及其上任意選取的點集, 只要, 就有 ,</p><p>　　則稱函數(shù)在區(qū)間上可積, 數(shù)稱為在上的定積分, </p><p>　　記作 .

48、 </p><p>　　若用極限符號表達定積分, 可寫作.</p><p>　　例19 求極限 .</p><p><b>　　解 因為，時，</b></p><p><b>　　左端極限</b></p><p><b>　　=時，</b>&

49、lt;/p><p><b>　　右端極限</b></p><p><b>　　= </b></p><p>　　故 原式= （兩邊夾法則）.</p><p>　　注意 由定積分的定義我們知道, 定積分是某一和式的極限, 因此, 如果關(guān)于的某一和式可以表示成某一積分的形式時, 則可利用定積分, 求出

50、這個和式的極限, 顯然, 若要利用定積分求極限, 其關(guān)鍵在于將和式化成某一函數(shù)的積分形式.</p><p>　　1.2.17 利用積分中值定理求極限</p><p>　　定理 6[1] 設(shè)與都在上連續(xù), 且在上不變號, 則至少存在一點, 使得 .</p><p>　　例 21 求極限.</p><p>　　解 取, , , 則

51、在上的最小值, 最大值, 由積分中值定理知 .</p><p><b>　　因為, 所以.</b></p><p>　　1.2.18 利用級數(shù)求極限</p><p>　　1.2.18.1 利用級數(shù)展開式求極限</p><p><b>　　例22 </b></p><p>

52、;　　解 利用冪級數(shù)的展開式, 可得</p><p><b>　　原式</b></p><p><b>　　=.</b></p><p>　　注意 從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運算、逐項求導(dǎo)、逐項求積定義法等直接或間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式.</p><p>　　1.2.18.2

53、利用級數(shù)收斂的必要條件求 </p><p><b>　　極限</b></p><p>　　定理7 若級數(shù)收斂, 則它的一般項趨于零.</p><p><b>　　例23 求.</b></p><p>　　解 研究級數(shù) , 令,用比值法: </p><p>　　所以級數(shù)收

54、斂, 從而 .</p><p>　　注意 對某些極限可將函數(shù)作為級數(shù)的一般項, 只需證明此級數(shù)收斂, 便有.</p><p>　　1.2.19 利用黎曼引理求極限</p><p>　　定理8[1] 若在上可積, 是以為周期的函數(shù), 且在上可積, 則有 .</p><p><b>　　例24 計算.</b

55、></p><p>　　解 因為的周期為, </p><p>　　2 二元函數(shù)極限的求法</p><p>　　2.1 二元函數(shù)極限的定義</p><p>　　定義5[1] 設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為的一個聚點，是一個確定的實數(shù).若對任給正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)時，都有</p><p><b>　　

56、，</b></p><p>　　則稱在上當(dāng)時，以為極限，記作 </p><p>　　. </p><p>　　在對于不致產(chǎn)生誤解時，也可簡單記作</p><p>　　. </p><p&g

57、t;　　當(dāng)，分別用坐標(biāo)，表示時，式也常寫作</p><p>　　. </p><p>　　二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別． 在極限運算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限變得更加復(fù)雜, 它實質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程, 是一個較為復(fù)雜的極限, 對于二元函數(shù)的二重極限,

58、 其重點是研究極限的存在性以及具體的求解方法． 其中, 求解方法非常多樣, 靈活性和隨機性很強, 我在這里總結(jié)了幾種具有代表性的求解方法. </p><p><b>　　引例 求</b></p><p>　　原解法 因為對, 取,</p><p>　　當(dāng), , 且()(0,0)時, 有<, 由極限的定義得 .<

59、;/p><p>　　新解法：令當(dāng)（)(0,0)有, </p><p><b>　　因為, </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　兩者相對比, 我們就會發(fā)現(xiàn), 此例用極坐標(biāo)代換求極限比用定義求解簡單的多, 那么, 選擇一個正確的解題方法就顯得尤為重要了． 下面, 我會對

60、各類方法進行探索.</p><p>　　2.2 二元函數(shù)極限的若干求法</p><p>　　2.2.1 利用定義求極限</p><p>　　例26 討論，在的極限.</p><p><b>　　解 令</b></p><p>　　以為此路徑為特殊路徑，故不能說明</p><

61、p><b>　　.</b></p><p>　　再利用定義判定：，取，當(dāng)</p><p><b>　　時，有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b

62、>　　,</b></p><p><b>　　即有：，故.</b></p><p>　　2.2.2 利用多元函數(shù)的洛必達法則求極限</p><p>　　定理9[3] 設(shè)函數(shù)f與g在點的某空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，并且滿足條件：</p><p><b>　?。?）</b></p>

63、;<p>　?。?）函數(shù)f和g在內(nèi)可微，并且</p><p><b>　　（3）</b></p><p>　　則 </p><p>　　注意1 上述定理對于同樣成立.</p><p>　　注意2 對非有限點（中至少有一個為的極限問題，只要采用適當(dāng)變了替換就可以轉(zhuǎn)化為有限點的情形

64、</p><p><b>　　例25 求</b></p><p><b>　　解</b></p><p>　　2.2.3 利用連續(xù)性求極限</p><p><b>　　例27 求</b></p><p><b>　　解 原式.</b

65、></p><p><b>　　例28 .</b></p><p><b>　　解 原式.</b></p><p><b>　　例29 求.</b></p><p><b>　　解 原式.</b></p><p>　　

66、2.2.4 利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量求極限</p><p><b>　　例30 求.</b></p><p><b>　　解 原式=</b></p><p><b>　　例31 求.</b></p><p><b>　　解 原式.</b&

67、gt;</p><p>　　因為是有界變量，又為無窮小量，</p><p><b>　　所以原式.</b></p><p>　　2.2.5 通過對分式的分子或分母有理化求極限</p><p><b>　　例32 求.</b></p><p><b>　　解 原式

68、.</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　?。ㄟ@里是無窮小量，為有界變量）</p><p>　　2.2.6 利用極限的夾逼性準(zhǔn)則求極限</p><p><b>　　例33 求 .</b></p><p><b>　　解

69、由，</b></p><p><b>　　而，故可知</b></p><p>　　2.2.7 利用等價無窮小變換求極限</p><p><b>　　例34 求.</b></p><p><b>　　解 當(dāng)時，，</b></p><p>&

70、lt;b>　　原式=.</b></p><p>　　2.2.8 利用變量替換, 將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限求極限</p><p><b>　　例35 求 .</b></p><p><b>　　解 原式=</b></p><p><b>　　當(dāng)時， 令<

71、/b></p><p><b>　　故原式.</b></p><p>　　2.2.9 利用取對數(shù)法求極限 </p><p><b>　　例36 求</b></p><p><b>　　解 令，</b></p><p><b>　　而&l

72、t;/b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　那么，</b></p><p><b>　　故原式</b></p><p>　　2.2.10 用三角變換法求極限</p><p><b>　　例37 求&l

73、t;/b></p><p><b>　　解 令，則可得</b></p><p><b>　　于是，于是為：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b&

74、gt;　　，，</b></p><p><b>　　所以，原式為：.</b></p><p>　　2.2.11 利用一元函數(shù)中的極限推廣求極限 </p><p><b>　　例38 求</b></p><p><b>　　解 因為，</b></p>

75、<p><b>　　所以</b></p><p>　　2.2.12 利用無窮小的性質(zhì)求極限</p><p>　　與一元函數(shù)類似, 在求極限的過程中, 以零為極限的量稱為無窮小量, 有關(guān)無窮小量的運算性質(zhì)也可以推廣到多元函數(shù)中</p><p><b>　　例39 求</b></p><p&g

76、t;　　解 以為， </p><p><b>　　所以，原式</b></p><p>　　2.2.13 利用()法求極限</p><p>　　例40 （x，y不同時為0）</p><p><b>　　解 因為</b></p><p>　　故 ， 可取

77、，則當(dāng)， 時，有</p><p>　　所以， </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.</p><p>　　[

78、2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（第二版）[M].北京：高等教育出社2006,4.</p><p>　　[3]趙志芳，馬艷園.多元函數(shù)極限的求法[J].宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,2011.</p><p>　　[4]章士藻，毛士忠.二元函數(shù)的極限及其求法[J].</p><p>　　[5]武淑琴.二元函數(shù)極限的幾種求法[J].山西財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟信息學(xué)院,20

79、04.</p><p>　　[6]郭欣紅，康士臣.巧解二元函數(shù)的極限[J].遼寧金融職業(yè)學(xué)院，沈陽廣播電視大學(xué),2004,5.</p><p>　　[7]費定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001,1.</p><p>　　[8]李國華.函數(shù)極限的幾種求法[J].高師理學(xué)刊.</p><p>　　[9]