函數(shù)極限的十種求法

1、函數(shù)極限的十種求法信科2班江星雨20140202250函數(shù)極限可以分成而運用εδ定義更多的見諸于已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學(xué)者深刻理解運用極限定義大有裨益。以的極限為例，f(x)在點以A為極限的定義是：對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)，使得當(dāng)x滿足不等式時，對應(yīng)的f(x)函數(shù)值都滿足不等式：，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。時的極限。1.利用極限的四則運算法則利用極限的四則運算法則：極限四則運算法則的條

2、件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運算法則求函數(shù)極限時，必須對所給的函數(shù)逐一進行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件，滿足條件者。方能利用極限四則運算法則進行求之。不滿足條件者，不能直接利用極限四則運算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運算法則條件的函數(shù)就沒有極限，而是需將函數(shù)進行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運算法則求之。而對函數(shù)進行恒等變形時，通常運用一些技巧如拆項、分子分母同時約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換

3、等等。例1求lim(x2?3x5).x→2解：lim(x2?3x5)=limx2?lim3xlim5=(limx)2?3limxlim5=22?3?25=3.x→2x→2x→2x→2x→2x→2x→22.利用洛必達法則利用洛必達法則洛必達(LHopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.簡單講就是，在求一個含分式的函數(shù)的極限時，分別對分子和分母求導(dǎo)，在求極限，和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后為

4、零比零或無窮比無窮的類型。利用洛必達求極限應(yīng)注意以下幾點：設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)滿足下列條件：（1）x→a時limf(x)=0limF(x)=0（2）在點a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo)且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0（3）x→a時lim(f(x)F(x))存在或為無窮大則x→a時lim(f(x)F(x))=lim(f(x)F(x))例1：1cosx=112[sin(x2)]^2=2[sin(x2)]^2xsinx=2xsin(x2)

5、cos(x2)原式=lim2[sin(x2)]^2[2xsin(x2)cos(x2)]=tgxx對分子分母同時求導(dǎo)（洛必達法則）(tgx)=1(cosx)^2(x)=1原式=lim1(cosx)^2當(dāng)x0時cosx1原式=13.利用兩個重要極限：利用兩個重要極限：應(yīng)用第一重要極限時，必須同時滿足兩個條件：（就是直接將趨向值帶出函數(shù)自變量中，此時要要求分母不能為0）描述函數(shù)的一種連綿不斷變化的狀態(tài)，即自變量的微小變動只會引起函數(shù)值的微小變

6、動的情況。確切說來，函數(shù)在某點連續(xù)是指：當(dāng)自變量趨于該點時，函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點所取的值一致。例1設(shè)f（x）=xsin1xax0解：f(0)＝b1左極限：lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)(xsin(1x)＋a)＝0a＝a左極限：lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)(x^21)＝01＝1f(x)在x＝0處連續(xù)，則lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)f(x)＝f(0)，所以a＝1＝b1，所以a＝1，b＝27.利用等

7、價無窮小量代換求極限利用等價無窮小量代換求極限例8求極限30tansinlimsinxxxx??解由于，而??sintansin1coscosxxxxx???，，??sin~0xxx???21cos~02xxx????33sin~0xxx?故有23300tansin112limlimsincos2xxxxxxxxx???????注在利用等價無窮小量代換求極限時，應(yīng)注意只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量替代，而對極限式中

8、的相加或相減部分則不能隨意替代，如在例題中，若因有，，而推出??tan~0xxx???sin~0xxx?，3300tansinlimlim0sinsinxxxxxxxx??????則得到的式錯誤的結(jié)果附常見等價無窮小量，，，??sin~0xxx???tan~0xxx???21cos~02xxx??，，，??arcsin~0xxx???arctan~0xxx???1~0xexx??，????ln1~0xxx??????11~0xxx???