高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析

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文檔簡介

1、　　高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析　　各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。　　類型1 　　解法：

2、把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。　　例:已知數(shù)列滿足，，求。　　解：由條件知：　　分別令，代入上式得個等式累加之，即　　所以<b&

3、gt;　　，　　變式:（2004，全國I，個理22．本小題滿分14分）　　已知數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….　?。↖）求a3, a5；　?。↖I）求{ an}的通項公式.</p

4、>　　解：，　　，即　　，　　…… ……　　將以上k個式子相加，得

5、　　將代入，得　　，　　。　　經(jīng)檢驗也適合，　　類型2

6、;　　解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。　　例:已知數(shù)列滿足，，求。　　解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即　　又，　　例:已知，，求。&

7、lt;/b>　　解：　　。　　變式:（2004，全國I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1， (n≥2)，則{an}的通項 　　解：由已知，得，用此式減去已知式，得</p&g

8、t;　　當時，，即，又，　　，將以上n個式子相乘，得　　類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。　　解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。　　例:已知數(shù)列中，，，求.<

9、/p>　　解：設遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.　　變式:（2006，重慶,文,14）　　在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_______________　?。╧ey:）

10、　　變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）　　已知數(shù)列滿足　?。↖）求數(shù)列的通項公式；　　（II）若數(shù)列{bn}滿足證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；　　（Ⅲ）證明：

11、　?。↖）解：　　是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 　　即　　?。↖I）證法一：　　①</b

12、>　?、?lt;/b>　　②－①，得　　即　?、郏埽谩?lt;/b>　　即　&

13、lt;/b>　　是等差數(shù)列 　　證法二：同證法一，得　　令得　　設下面用數(shù)學歸納法證明　　?。?）當時，等式成立 <

14、;p>　?。?）假設當時，那么　　這就是說，當時，等式也成立 　　根據(jù)（1）和（2），可知對任何都成立 　　是等差數(shù)列 　?。↖II）證明：

15、　變式:遞推式：。解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異．　　類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q, r均為常數(shù)）。　　解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。　　例:已知數(shù)列中，,，求。<b

16、>　　解：在兩邊乘以得：　　令，則,解之得：　　所以　　變式:（2006，全國I,理22,本小題滿分12分）　　設數(shù)列的前項的和，&

17、lt;/p>　?。á瘢┣笫醉椗c通項；（Ⅱ）設，，證明：　　解：（I）當時，；　　當時，，即，利用（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q, r均為常數(shù)）的方法，解之得：　　(Ⅱ)將代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×

18、;2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)　　= ×(2n+1－1)(2n－1) 　　Tn= = × = ×( － )　　所以, = － ) = ×( － ) < 　　類型5 遞推公式為（其中

19、p，q均為常數(shù)）。　　解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為　　其中s，t滿足　　解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項

20、為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。　　解法一（待定系數(shù)——迭加法）:　　數(shù)列：，，求數(shù)列的通項公式。　　由，得　　，<

21、b>　　且。　　則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是　　。把代入，得　　，　　，<

22、;b>　　，　　。　　把以上各式相加，得　　。　　。

23、　　解法二（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：。　　,　　。　　又由，于是　　故<p&g

24、t;　　例:已知數(shù)列中，,,，求。　　解：由可轉(zhuǎn)化為　　即或　　這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即<p&g

25、t;　　又，所以。　　變式:（2006，福建,文,22,本小題滿分14分）　　已知數(shù)列滿足　?。↖）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；　?。↖I）求數(shù)列的通項公式；

26、　（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 　?。↖）證明：　　是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 　?。↖I）解：由（I）得　?。↖II）證明：<b&g

27、t;　?、?lt;/b>　?、?lt;/b>　?、冢?，得　　即　　　　　③　?、?lt;/b>&l

28、t;b>　?、埽郏?lt;/b>　　即　　是等差數(shù)列 　　類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)　　解法：這種類型一般利用與消去或與消去進行求解。<

29、p>　　例：已知數(shù)列前n項和.　　（1）求與的關(guān)系；（2）求通項公式.　　解：（1）由得：　　于是　　所以.

30、?。?）應用類型4（（其中p，q均為常數(shù)，））的方法，上式兩邊同乘以得：　　由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以　　變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分)　　已知正項數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項an

31、　　解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 　　又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 　　由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 </p&g

32、t;　　∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2) 　　當a1=3時，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比數(shù)列∴a1≠3;　　當a1=2時， a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 　　變式

33、: (2005,江西,文,22．本小題滿分14分）　　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項公式.　　解：，　　，兩邊同乘以，可得　　令<

34、/b>　　…… ……　　又，，　　，　　。　　類型

35、7 　　解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。　　例:設數(shù)列：，求.　　解：設，將代入遞推式，得　　…（１）則,又，故代入（１）得</p&g

36、t;　　說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.　　變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）　　已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3… 　　(Ⅰ)令<p&g

37、t;　　(Ⅱ)求數(shù)列　　(Ⅲ)設的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出若不存在,則說明理由 　　解：（I）由已知得 　　又　　是以為首項，以為公比的等比數(shù)列 <

38、/p>　　（II）由（I）知，　　將以上各式相加得：　　（III）解法一：　　存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 　　數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)&

39、lt;p>　　即　　又　　當且僅當，即時，數(shù)列為等差數(shù)列 　　解法二：　　存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 　　由（

40、I）、（II）知，　　又　　當且僅當時，數(shù)列是等差數(shù)列 　　類型8 　　解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。　　例：已知數(shù)

41、列｛｝中，，求數(shù)列　　解：由兩邊取對數(shù)得，　　令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。　　變式:（2005，江西,理,21．本小題滿分12分）　　已知數(shù)列　?。?）證明</b&

42、gt;　?。?）求數(shù)列的通項公式an.　　解：用數(shù)學歸納法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明：　?。?）方法一用數(shù)學歸納法證明：　　1°當n=1時，　　∴，命題正確.<

43、/b>　　2°假設n=k時有　　則　　而　　又

44、;　　∴時命題正確.　　由1°、2°知，對一切n∈N時有　　方法二：用數(shù)學歸納法證明：　　1°當n=1時，∴；　　2°假設n=k時有成立，　　令，在[0，2]上單調(diào)遞增，

45、所以由假設　　有：即　　也即當n=k+1時成立，所以對一切　?。?）解法一：　　所以　　　　,

46、　　又bn=－1，所以　　解法二：　　由（I）知，，兩邊取以2為底的對數(shù)，　　令,則<b&

47、gt;　　或　　變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）　　已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…　　證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；　　設Tn=(1+a1) (1+a2) …(1

48、+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項；　　記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項和Sn，并證明Sn+=1 　　解：（Ⅰ）由已知，　　，兩邊取對數(shù)得　　，</p

49、>　　即　　是公比為2的等比數(shù)列 　?。á颍┯桑á瘢┲?lt;/b>　?。?）　　=

50、;　　由（*）式得　?。á螅?，，　　，又，　　，又， 　　類型9 </

51、b>　　解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。　　例：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項公式。　　解：取倒數(shù)：　　是等差數(shù)列，

52、　變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）　　已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝　　求數(shù)列｛an｝的通項公式；　　證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1a2……an2n！　　解：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項為

53、　　1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n1）…………1　?。?）證：據(jù)1得，a1a2…an＝　　為證a1a2……an2n！　　只要證nN時有…………2　　顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明，對每個nN，有

54、;　　1－（）…………3　　用數(shù)學歸納法證明3式：　　n＝1時，3式顯然成立，　　設n＝k時，3式成立，　　即1－（）　　則當n＝k＋1

55、時，　　〔1－（）〕（）　?。?－（）－＋（）　　1－（＋）即當n＝k＋1時，3式也成立 　　故對一切nN，3式都成立 <b

56、>　　利用3得，　　1－（）＝1－　?。?－　　故2式成立，從而結(jié)論成立 　　類型10

57、;　　解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。　　例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式. 　　解: 數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有</p&g

58、t;　　∴　　∴　　即　　例：已知數(shù)列滿足：對于都有　　（1）若求（2）若求（3）若求　?。?

59、）當取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？　　解：作特征方程變形得　　特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.　　(1)∵對于都有　　(2)∵<

60、b>　　∴　　令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在，　　當≤4，時，.　　(3)∵∴　　∴&

61、lt;b>　　令則∴對于　　∴　　(4)、顯然當時，數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當時，則有令則得且≥2.　　∴當（其中且N≥2）時，數(shù)列從第項開始便不存在.

62、　于是知：當在集合或且≥2}上取值時，無窮數(shù)列都不存在.　　變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）　　數(shù)列記　?。á瘢┣骲1、b2、b3、b4的值；　　（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和<

63、;p>　　解法一：由已知,得,其特征方程為解之得,或　　,　　, 　　解法二：　?。↖）

64、　?。↖I）因，　　故猜想　　因，（否則將代入遞推公式會導致矛盾）　　故的等比數(shù)列.　　, &

65、lt;/p>　　解法三：　?。á瘢┯?lt;/b>　　整理得　?。á颍┯?lt;/b>　　所以<

66、/b>　　解法四：　?。á瘢┩夥ㄒ?lt;/b>　?。á颍?lt;/b>　　從而

67、　　類型11 或　　解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。　　例：（I）在數(shù)列中，，求 　?。↖I）在數(shù)列中，，求　　類型12 歸納猜想法　　解法：數(shù)學歸納法&

68、lt;/p>　　變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）　　設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…　?。á瘢┣骯1，a2；　?。á颍鸻n｝的通項公式 　　提示:1 為

69、方程的根,代入方程可得　　將n=1和n=2代入上式可得 　　2 求出等,可猜想并用數(shù)學歸納法進行證明，本題主要考察一般數(shù)列的通項公式與求和公式間的關(guān)系　　3 方程的根的意義(根代入方程成立)　　4數(shù)學歸納法證明數(shù)列的通項公式(也可以把分開為,可得

70、;　　解：(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，　　于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝ 　　當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，　　于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝

71、　　(Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，　　即　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0 　　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得　　Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①　　由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝ &l

72、t;/p>　　由①可得S3＝ 　　由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… 　　　　　　……8分　　下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論 　　(i)n＝1時已知結(jié)論成立 　　(ii)假設n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝

73、，　　當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，　　故n＝k＋1時結(jié)論也成立 　　綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立　　……10分　　于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，　　又n＝1時，a1

74、＝＝，所以　?。鸻n｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，… ……12分　　本題難度較大,不過計算較易,數(shù)列的前面一些項的關(guān)系也比較容易發(fā)現(xiàn) 　　類型13雙數(shù)列型　　解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加

75、、累乘、化歸等方法求解。　　例：已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.　　解：因　　所以　　即…………………………………………（1）

76、　又因為　　所以……　　.即………………………（2）　　由（1）、（2）得：， 　　類型14周期型　　解法：由遞推式計算出前幾項，尋找

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