汽車保險的數(shù)學模型研究畢業(yè)論文

1、<p>　　學校代碼： 11059 </p><p>　　學 號：0807012051</p><p>　　Hefei University</p><p><b>　　畢業(yè)論文（設(shè)計）</b></p><p>　　BACHELOR DISSERTATION</p><p>

2、　　論文題目： 汽車保險的數(shù)學模型研究 </p><p>　　學位級別： 理科學士 </p><p>　　學科專業(yè)： 信息與計算科學 </p><p>　　作者姓名： 陳明 </p>&l

3、t;p>　　導(dǎo)師姓名： 張霞 </p><p>　　完成時間： 2012.5.14 </p><p>　　汽車保險的數(shù)學模型研究</p><p>　　中 文 摘 要</p><p>　　保險業(yè)務(wù)是一個涉及社會心理、保費、賠償費、返

4、回額、宣傳力度以及社會法律法規(guī)的十分復(fù)雜的系統(tǒng)。本文利用某保險公司在開展汽車保險業(yè)務(wù)中所積累的具體數(shù)值資料，綜合考慮投保者心理、保費、賠償金額、返回額以及宣傳力度等因素，應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)學實驗的方法，建立了一個汽車保險的簡單實用的數(shù)學模型.</p><p>　　在分析政府實施安全法規(guī)前,投保人人均所擔負的事故賠償費情況的基礎(chǔ)上,再討論實施安全法規(guī)后,投保人人均所擔負的事故賠償費情況.對所建立的數(shù)學模型進行求解分析

5、,最后給出:如果人均所擔負的賠償費減少，則人均所擔負的風險相應(yīng)的變小，相應(yīng)的投保人所交的保險費也應(yīng)減少的合理結(jié)論.</p><p>　　關(guān)鍵詞：汽車保險；無賠款優(yōu)待系統(tǒng)；精算模型 ；數(shù)學模型</p><p>　　A Mathematical Model For Automobile Insurance</p><p><b>　　ABSTRACT</

6、b></p><p>　　Insurance business is a related to social psychology, insurance cost, damages, to return to the forehead, propaganda and social law laws and regulations is very complex system.A concise and he

7、lpful mathematical model for automobile insurance is built is built up by means of statistics and mathematical experiment with authentic data drawn from the automobile insurance practice of a certain insurance corporatio

8、n. Factors considered include the insurant"s psychology, premiums, premiums, compensatio</p><p>　　On the analysis of the government to implement safety regulations before, policy-holder per capita allot

9、ted accident compensation based on the situation and discuss to implement safety regulations, policy-holder per capita allotted accident compensation condition of the established mathematical model is solved by analysis,

10、 and finally gives: if the per capita allotted to reduce damages, the per capita allotted risk corresponding smaller, corresponding policy-holder place to pay insurance premium</p><p>　　KEY WORD: automobile；

11、No-Claim-Discount；Actuarial Models；mathematical model</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第一章 前言……………………………………………………………………………………1</p><p>　　1.1問題的提出2</p><p>　　1.2無

12、賠款優(yōu)待系統(tǒng)2</p><p>　　1.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀4</p><p>　　1.3.1 精算模型研究現(xiàn)狀4</p><p>　　1.3.2 NCD系統(tǒng)研究現(xiàn)狀5</p><p>　　1.4研究內(nèi)容與目標7</p><p>　　第二章 汽車保險的數(shù)學模型……………………………………………………………….7

13、</p><p>　　2.1 問題的分析7</p><p><b>　　2.2模型假設(shè)8</b></p><p><b>　　2.3符號說明8</b></p><p>　　2.4 模型建立9</p><p>　　2.5 模型求解12</p><p

14、>　　第三章 結(jié)論…………………………………………………………………………………..14</p><p>　　3.1 計算結(jié)果比較14</p><p>　　3.2誤差分析18</p><p>　　3.3模型評價19</p><p>　　參考文獻………………………………………………………………………………………19</p>

15、;<p>　　致 謝……………………………………………………………………………………….20</p><p><b>　　第一章 前言</b></p><p>　　我國自1980年國內(nèi)保險業(yè)務(wù)恢復(fù)以來，汽車保險業(yè)務(wù)已經(jīng)取得了長足的進步，尤其是伴隨著汽車進入百姓的日常生活，汽車保險正逐步成為與人們生活密切相關(guān)的經(jīng)濟活動，其重要性和社會性也正逐步突現(xiàn)，作

16、用越加明顯.</p><p>　　從目前經(jīng)濟發(fā)展發(fā)展情況看，汽車工業(yè)已成為我國經(jīng)濟健康、穩(wěn)定發(fā)展的重要動力之一，汽車產(chǎn)業(yè)政策在國家產(chǎn)業(yè)政策中的地位越來越重要，汽車產(chǎn)業(yè)政策要產(chǎn)生社會效益和經(jīng)濟效益，要成中國經(jīng)濟發(fā)展的原動力，離不開汽車保險與之配套服務(wù).汽車保險業(yè)務(wù)自身的發(fā)展對于汽車工業(yè)的發(fā)展起到了有力的推動作用，汽車保險的出現(xiàn)，解除了企業(yè)與個人對使用汽車過程中可能出現(xiàn)的風險的擔心，一定程度上提高消費者購買汽車的欲望

17、，一定程度擴大了對汽車的需求.</p><p>　　生產(chǎn)力水平的提高、科學技術(shù)的發(fā)展使人類社會走向文明，汽車文明在給人們生活以交通便利的同時，也給人們帶來了因汽車運輸中的碰撞、傾覆等意外事故造成的財產(chǎn)損失和人身傷亡.不僅如此，隨著生產(chǎn)力水平的提高，科學技術(shù)的進步，風險事故所造成的損失也越來越大，對人及社會的危害也越來越嚴重.機動車輛在使用過程中遭受自然災(zāi)害風險和發(fā)生意外事故的概率較大，特別是在發(fā)生第三者責任的事故

18、中，其損失賠償是難以通過自我補償?shù)?</p><p>　　機動車輛保險是現(xiàn)代社會處理風險的一種非常重要的手段，是風險轉(zhuǎn)嫁中一種最重要、最有效的技術(shù)，是不可缺少的經(jīng)濟補償制度.</p><p>　　目前，大多數(shù)發(fā)達國家的汽車保險業(yè)務(wù)在整個財產(chǎn)保險業(yè)務(wù)中占有十分重要的地位.美國汽車保險保費收入，占財產(chǎn)保險總保費的45%左右，占全部保費的20%左右.亞洲地區(qū)的日本和臺灣汽車保險的保費占整個財產(chǎn)保

19、險總保費的比例更是高達58%左右.</p><p>　　從我國情況來看，隨著積極的財政政策的實施，道路交通建設(shè)的投入越來越多，汽車保有量逐年遞增.在過去的20年，汽車保險業(yè)務(wù)保費收入每年都以較快的速度增長.在各保險公司中，汽車保險業(yè)務(wù)保費收入占其財產(chǎn)保險業(yè)務(wù)總保費收入的50%以上，部分公司的汽車保險業(yè)務(wù)保費收入占其財產(chǎn)保險業(yè)務(wù)總保費收入的60%以上.汽車保險業(yè)務(wù)已經(jīng)成為財產(chǎn)保險公司的“吃飯險種”.其經(jīng)營的盈虧，關(guān)

20、系到整個財產(chǎn)保險行業(yè)的經(jīng)濟效益.可以說，汽車保險業(yè)務(wù)的效益成為財產(chǎn)保險公司效益的“晴雨表”.</p><p><b>　　1.1問題的提出</b></p><p>　　已知某汽車保險公司的保險規(guī)則，即：該公司只提供一年期的綜合保險單，若客戶在這一年內(nèi)沒有提出賠償要求，則給予額外補助；客戶被分成0，1，2，3 級，新客戶屬于0 級；級別越高，從保險費中得到的回扣越多；0

21、,1,2,3級的顧客若在一年中未發(fā)生索賠，0,1,2級則在下一年續(xù)保時上升一級，3級的顧客級別不變；若發(fā)生事故索賠，則在下一年續(xù)保時，2,3級的下降兩級，其余的均定為0級.客戶不論是由于自動終止保險還是則某種原因（例如事故死亡），保險公司將退還保險金的適當部分.</p><p>　　現(xiàn)在政府為了減少交通事故，參考其他城市的做法，制定了一系列安全法規(guī).根據(jù)其他城市的經(jīng)驗，實行安全法規(guī)以后，交通事故率不變，但相應(yīng)的死

22、亡的司機減少40％，一般來講醫(yī)療費也會減少20％至40％.問題是想知道實行安全法規(guī)以后保險公司所制定的保險費是應(yīng)該增加還是應(yīng)該減少，提出一般的解答方法并運用已知的該公司在某一年的保險數(shù)據(jù)來驗證所提出的方法的正確性.</p><p>　　1.2無賠款優(yōu)待系統(tǒng)</p><p>　　保險很重要的一個原理就是公平公正地維護消費者的利益.如果影響風險的所有因素能夠被觀察并測量出且引入到費率厘定中，那

23、么對被保險人而言，費率是完全公平的;讓沒有發(fā)生損失的被保險人分擔發(fā)生了損失的被保險人的損失也沒有什么不公平，這正是保險的原理.但是在商業(yè)保險中，利益共同體不應(yīng)該導(dǎo)致“好的”被保險人固有的要為另一個“差的”被保險人買單這樣一個局面.若保險人試圖將這種“補貼利益共同體”強加于客戶，他將會看到“好的”被保險人紛紛離去，而留下來的只是一些“差的”被保險人了.事實上把影響風險的所有因素觀察測量出來納入到費率厘定中幾乎是不可能的，比如超車欲望、反應(yīng)

24、敏捷性等變量均是不可能事先度量的先驗變量，也就是不能保證保險人的風險的同質(zhì)性，因此，在不能保證保單的同質(zhì)性情況下，上述結(jié)論則不再成立.應(yīng)允旬保人在一定時期內(nèi)依據(jù)對被保險人的行為結(jié)果將其保費加以調(diào)整，這種依賴于被保險人個人及具體結(jié)果的費率調(diào)整系統(tǒng)，我們稱之為無賠款優(yōu)待系統(tǒng)(NCD:No一 Claim—Discount).</p><p>　　在汽車保險中，大多數(shù)國家的保險人都實行了NCD系統(tǒng)，具體實施措施因各國各地

25、而異，如英國的七個等級制、瑞士22個等級制、香港地區(qū)六個等級制、中國大陸三個等級制等等.在無賠款優(yōu)待系統(tǒng)中，一個新的保險投保人在其投保的第一年中，必須以其所屬組別的條件繳納全額保險費，而以后保險費的支付便依賴于它自身的損失紀錄.若出現(xiàn)索賠，則保單持有人在次年享受較小的折扣或不能享受優(yōu)待，換句話說，他將被降至一個比原己有折扣要低的等級中去;另一方面，若無索賠紀錄，則保單持有人在下一年度升入更高折扣率的級別組中去，若他己經(jīng)達到了最高一級的級

26、別，則將繼續(xù)在該組內(nèi)享受最高一級的優(yōu)待折扣.用數(shù)學的語言概括之，NCD系統(tǒng)可描述為[13，14]:</p><p>　　(l)所有的被保險人分成有限個等級，被保險人的年保費只依賴于它所屬的等級;</p><p>　　(2)新投保的被保險人繳納初始等級的保險費;</p><p>　　(3)被保險人的續(xù)期保費取決于他在上一個保險年度所屬的等級和索賠次數(shù);</p&g

27、t;<p>　　由此可見，NCD系統(tǒng)即是被保險人上一保險年度的索賠經(jīng)驗調(diào)整他次年度續(xù)期保費.</p><p>　　為了鼓勵成績好的保單持有人繼續(xù)留在同一保險公司續(xù)保，近年來機動車輛保險中的無賠款優(yōu)待系統(tǒng)概念得到了進一步地發(fā)展，早期的折扣率都很低，現(xiàn)在最高的已經(jīng)達到了60%.在實際應(yīng)用中證明NCD系統(tǒng)具有一下的一些優(yōu)點[13一15]:</p><p>　　(1)它使每個投保人繳

28、納的保費更能真實地接近于個體風險，即被保險人繳納的保險費體現(xiàn)了其真實的風險水平;</p><p>　　(2)它在一定程度上減少了由于道德風險給保險人帶來的損失，因為投保人最初對其自身風險水平的低估將會通過他的索賠紀錄得到調(diào)整;</p><p>　　(3)它可以鼓勵被保險人小心駕車，為了避免保費上的懲罰，司機們會盡量減少事故的發(fā)生，注意安全;</p><p>　　(4

29、)它可以降低小額賠付的發(fā)生，因為有的投保人為了避免保費上的懲罰，對于一些小額損失，不再去索賠，這樣可以降低保險人索賠成本和管理費用，從而可以進一步降低保險費率.</p><p>　　值得注意的是，盡管保險公司在應(yīng)用NCD系統(tǒng)時有很多良好的愿望，但實際應(yīng)用的NCD系統(tǒng)在區(qū)分不同風險水平的投保者方面力不從心，換言之，如果投保者A的索賠頻率為5%，投保者B的索賠頻率為10%，那么投保者B的保費應(yīng)該是投保者A的2倍，但實

30、際上，NCD系統(tǒng)只讓投保者B比投保者A多交很少一部分保費.</p><p>　　雖然NCD系統(tǒng)簡單易操作且有很多優(yōu)點，但對NCD系統(tǒng)持批評態(tài)度的也大有人在，主要有以下幾個方面:</p><p>　　(1)破壞了投保者的經(jīng)濟穩(wěn)定性.投保者購買保險的初衷是通過繳納固定的保費將其不確定的隨機風險轉(zhuǎn)嫁給保險公司，但在應(yīng)用NCD系統(tǒng)的條件下，投保者還得承擔續(xù)期保費的變異性.</p>&

31、lt;p>　　(2)投保者之間的相互合作被削弱了.即幸運的投保者(沒有發(fā)生保險事故的投保者)對不幸的投保者在保費繳付上的幫助被較弱了.</p><p>　　(3)違背了大數(shù)定律.保險公司計算保險費率是所依賴的是大量保單的索賠經(jīng)驗，而不是個體保單的索賠經(jīng)驗，NCD系統(tǒng)通過個體保單的索賠經(jīng)驗調(diào)整投保者的續(xù)期保費，顯然是違背達數(shù)定律的.</p><p>　　我們從實際例子中也可看到NCD系

32、統(tǒng)并不能大幅度地改善投保者的非均勻性，以至于保險公司實際上并不能收取更真實地反映單一風險的保費.大量的數(shù)據(jù)也表明，NCD系統(tǒng)在區(qū)分不同風險水平的投保者方面的能力也是非常有限的，它的作用只能使避免小額賠款，就是在鼓勵安全行車方面都難見到其成效.</p><p>　　因此，有人認為NCD系統(tǒng)是“有組織地擯棄保險原則”，然而，NCD系統(tǒng)仍然得到投保人和保險人的青睞，而在各國的機動車輛保險中被廣泛應(yīng)用.</p>

33、;<p>　　1.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀[11]</p><p>　　1.3.1 精算模型研究現(xiàn)狀</p><p>　　汽車保險精算屬于非壽險精算的范疇.相對來講，壽險精算源遠流長，有百余年的歷史，理論體系比較完善，應(yīng)用也相當成熟，具有很多規(guī)范化的操作程序;非壽險精算起步較晚，目前還處于探索階段，其應(yīng)用在很大程度上還依賴于精算師個人的判斷.當然，非壽險精算發(fā)展遠遠遲于壽險精算的一個

34、重要原因是其數(shù)量分析更為復(fù)雜.非壽險精算保單持有人可能蒙受數(shù)種損失和在一定時期內(nèi)遭受數(shù)次損失，且受劇烈變化的經(jīng)濟環(huán)境的影響，非壽險精算保單總是頻繁續(xù)保，其風險多數(shù)情況下都存在不均勻性等等都使得風險估測分析變得復(fù)雜而又困難.精算師在厘定保費過程中需要考慮的兩個十分重要的因素就是保單的索賠次數(shù)和索賠額.根據(jù)保單組合索賠頻率的不同分為同質(zhì)風險組合的索賠次數(shù)模型和非同質(zhì)風險組合的索賠次數(shù)模型.同質(zhì)風險模型主要是泊松模型，對于非同時多車輛相撞事故

35、發(fā)生的情況，泊松模型的有以下幾個特性[12]:</p><p>　　(1) 個相互獨立且參數(shù)分別為i的泊松隨機變量之和仍然服從泊松分布，參數(shù)為.但這并不意味著個相互獨立的同質(zhì)勝保單組合的集體其索賠次數(shù)仍服從泊松分布，因為若這個同質(zhì)性保單組合的索賠頻率不相等，那么這個保單集體就是非同質(zhì)性的.</p><p>　　(2)均值和方差都等于索賠頻率，偏度系數(shù)隨著的增大逐漸減小，其中: .</

36、p><p>　　現(xiàn)實中多車輛相撞事故時有發(fā)生，在這種情況下，用泊松模型來描述是不精確的，王成勇等[7]對泊松模型進行了推廣，給出了一個新的模型—簇生點過程模型，用概率母函數(shù)為工具，給出了內(nèi)理賠總量的均值與方差.王成勇等[8]還對廣義泊松過程模型用鞍分析方法證明了其破產(chǎn)概率的Lunderg不等式.</p><p>　　所謂非同質(zhì)性是指保單組合中每份保單的索賠次數(shù)頻率不相同.在保險實踐中，盡管大多

37、數(shù)險種都對保險人根據(jù)某些先驗變量進行了分組，而且在選擇這些先驗變量時希望他們能盡可能地反映被保險人的風險水平.但任何先驗變量總是有一定缺陷的.因此，被劃入同一組的保單仍然不可避免地存在某種程度的非同質(zhì)性，這就使得泊松模型失去了應(yīng)用的前提.常用的非同質(zhì)風險次數(shù)模型主要有:負二項分布模型、泊松—逆高斯模型、二元風險模型、三元風險模型、二項—貝塔分布模型、負二項—貝塔分布模型等等.孟生旺[12]不但討論了這些保單組合的精算模型的均值、方差、偏

38、度系數(shù)等，對于相關(guān)性保單組合利用概率母函數(shù)方法分別討論了當每次事故引發(fā)的索賠次數(shù)服從對數(shù)分布、泊松分布、二項分布、負二項分布以及截尾負二項分布情況下的均值、方差、偏度系數(shù)等性質(zhì).</p><p>　　在某些險種中，保單的索賠之間有一定的傳染性，也就是說，一次索賠的發(fā)生可能會增加(或減少)下次發(fā)生索賠的可能性.傳染的形勢多種多樣，孟生旺[2]討論了索賠頻率之間存在線性傳染關(guān)系的情況.</p><

39、p>　　索賠次數(shù)模型是多種多樣的，而索賠次數(shù)模型的選擇往往依賴于數(shù)據(jù)的具體形式一般而言，提供的數(shù)據(jù)越豐富，所能擬合的模型就越復(fù)雜，擬合效果就越好.</p><p>　　常見的索賠額模型分布模型主要有指數(shù)分布、伽瑪分布、對數(shù)正態(tài)分布、Pareto分布、廣義Pareto分布、weibull分布、對數(shù)伽瑪分布、變換伽瑪分布等[2]，孟生旺[2]討論了通貨膨脹對索賠額模型的影響.</p><p&

40、gt;　　1.3.2 NCD系統(tǒng)研究現(xiàn)狀</p><p>　　自保險公司采用NCD以來，精算師們就沒有停止過對NCD的研究.在理論上，主要表現(xiàn)在兩個方面:一方面是基于索賠次數(shù)的NCD理論研究;另一方面是同時考慮索賠大小的NCD理論研究.而且，在基于索賠次數(shù)的NCD理論研究中也包括兩大級:一級是只利用后驗信息的NCD研究;另一級是同時考慮先驗信息的NCD理論研究.同樣，考慮索賠大小的NCD的研究也包括這兩級.相對于

41、基于索賠次數(shù)的NCD，有關(guān)考慮索賠大小的NCD的研究要少的多.在下面內(nèi)容里，我們將分兩個方面來綜述.</p><p>　　(1)基于索賠次數(shù)的NCD的理論研究</p><p>　　早在1962年，Marcel就開始了無賠款優(yōu)待問題的研究，并用期望索賠次數(shù)創(chuàng)建了無賠款折扣費率表.在1964年，Bichsel和Buhlinann等系統(tǒng)地提出了期望值保費原理，也就是每個投保人所繳納的保費與他的未

42、知索賠次數(shù)成正比.后來， Jean Lemaire在假設(shè)投保人的索賠次數(shù)服從負二項分布的基礎(chǔ)上，根據(jù)期望值原理和Gerber提出的指數(shù)效用原理，創(chuàng)建了獎懲系數(shù)表.因為Lemaire當時利用的是每個投保人未知索賠次數(shù)的估計值，而不是他的真實索賠次數(shù)，因此，在實際操作時，往往會給保險公司帶來損失.在設(shè)計這個NCD時，Lemaire利用的索賠次數(shù)的估計值是一個最優(yōu)估計值，也就是使得保險公司損失最小時索賠次數(shù)的估計值.十多年以后，Lmaire又

43、用平方差損失函數(shù)和期望值保費計算原理，以及用負二項分布作為索賠頻率的擬合分布函數(shù)獲得了一個最優(yōu)NCD.而Tremblay在1992年用平方差損失函數(shù)和零效用保費計算原理，以及用泊松—逆高斯分布為索賠頻率的擬合分布函數(shù)獲得了一個最優(yōu)NCD.再后來，J.F.Walhin和J.Paris仍然根據(jù)期望值原理和零效用原理，假設(shè)索賠次數(shù)服從非參數(shù)分布模型創(chuàng)建</p><p>　　當然，在基于索賠次數(shù)的NCD的理論研究領(lǐng)域中，

44、還有很多人做了不少工作，如Jean Pinquet研究了有無過失事故的NCD等.</p><p>　　(2)考慮索賠大小的NCD的理論研究</p><p>　　雖然精算師們早就認識到了基于索賠次數(shù)的NCD的不足，但是，到目前為止，有關(guān)考慮索賠大小的NCD的研究工作還是比較少.這當然與基于索賠次數(shù)的NCD自身的優(yōu)勢有關(guān)，因為它比較簡單、直觀、操作方便.另外索賠次數(shù)也能代表投保人的絕大部分風險

45、.盡管如此，在最近幾年，國外還是出現(xiàn)了幾篇有關(guān)考慮索賠大小的NCD的頗有價值的文獻，如 Jean Pinquet， Nicholas E.Frangos和 Spyridon D.Vrontos的文章.在前兩篇文章中，Pinquet以獨有的方式，利用E.A.Renshaw提出的具有協(xié)變量的索賠模型，創(chuàng)建了同時考慮索賠次數(shù)與索賠大小的異方差模型，然后通過求異方差模型的參數(shù)，得出了三種獎懲系數(shù)，但此模型數(shù)學化程度很高，很難在實際操作中使用.而

46、Niehola E.Frangos和 Spyridon D.Vrontos的主要工作也是將索賠次數(shù)與索賠大小一同考慮在NCD里，但是他們假設(shè)索賠大小與索賠次數(shù)相互獨立.另外,Nicholas E.Frangos和 Spyridon D.Vrontos還有一個貢獻就是建立了一個廣義NCD模型.在此模型中，他們同時考慮了投保人的先</p><p>　　在國內(nèi)，有關(guān)考慮索賠大小的工作更是少之又少.孟生旺[12]在他的博

47、士論文中首先涉及到了這方面的工作，他側(cè)重的是在不同分布、不同保費原理下的考慮索賠大小的NCD.他分別根據(jù)期望值原理、方差原理以及標準差原理，研究了在負二項—帕雷托損失模型、負二項—對數(shù)正態(tài)損失模型以及負二項—伽瑪損失模型下的 NCD.王奕渲和周叔子[16]的主要工作是，在假設(shè)索賠次數(shù)服從負二項—廣義帕雷托分布、索賠大小服從指數(shù)—伽瑪分布以及索賠次數(shù)與索賠大小相互獨立的前提下，根據(jù)期望值原理和期望值—方差原理，計算出了獎懲系數(shù). <

48、/p><p>　　1.4研究內(nèi)容與目標</p><p>　　利用某保險公司在開展汽車保險業(yè)務(wù)中所積累的具體數(shù)值資料,綜合考慮投保者心理、保費、賠償金額、返回額以及宣傳力度等因素,應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)學實驗的方法,建立一個汽車保險的簡單實用的數(shù)學模型，對模型進行求解和應(yīng)用，并對得到的結(jié)論進行解釋.</p><p>　　第二章 汽車保險的數(shù)學模型</p><

49、;p><b>　　2.1 問題的分析</b></p><p>　　題目所要解決的問題是實行安全法規(guī)后該汽車保險公司所制定的保險費的變化情況.社會保險的作用就在于分擔風險，汽車保險費由凈保費和附加保費兩部份構(gòu)成，附加保費用于支付保險公司的各種開支，這部份費用可假定是不變的,因而問題的關(guān)鍵就在于凈保費的變化.凈保費又叫做風險保費，在數(shù)量上等于保險期間賠款的期望值.因而通過對下一年的賠款期望

50、值的估算來確定下一年的凈保費的金額.而賠款期望值即人均事故賠償費的估算涉及到總投保人數(shù)的估算和事故賠償費總額的估算.雖然投保人數(shù)的變化與保險費的多少有關(guān)，但通過合理的假設(shè)（每輛車都必須投保）以及在頒布法規(guī)的情況下各個保險公司的保險費都會發(fā)生相似的變化（就可以忽略各保險公司的競爭）可以得到投保人數(shù)的變化不依賴于保險費的變化,所以所要解決的主要問題就是下一年的事故賠償費總額的估算和總投保人數(shù)的估算.最后通過得到的各級的凈保費以及已知的該級的

51、保險費折扣率來計算得到基本保險費.模型建立部分分為兩個過程，首先解決沒有頒布法規(guī)的情況，再在此基礎(chǔ)上解決法規(guī)頒布了的情況.</p><p><b>　　2.2模型假設(shè)</b></p><p>　　客戶被分成0，1，2，3級，新客戶屬于0 級.</p><p>　　假設(shè)一車一險，就是每年一輛汽車只能在一個公司投保,每輛新車必投保.</p&g

52、t;<p>　　假設(shè)公司擴展穩(wěn)定，基本支出費用不變.</p><p>　　每一級別中總投保人數(shù)等于續(xù)保人數(shù)與新投保人數(shù)之和.</p><p>　　投保人除注銷外不會退出該保險公司而到其他保險公司投保.</p><p>　　注銷人數(shù)等于自動終止保險人數(shù)與自然死亡人數(shù)之和.</p><p>　　索賠人數(shù)等于受傷人數(shù)和死亡人數(shù)之和.&

53、lt;/p><p>　　交通事故率，注銷率不變.</p><p>　　每年的新投保人數(shù)按等比例增長.</p><p>　　實施安全法規(guī)后，事故發(fā)生率不變，各級別死亡率等比例下降.</p><p>　　每名司機每年最多只發(fā)生一次交通事故.</p><p>　　下一年平均修理費,死亡賠償費不變.</p><

54、p>　　注銷人平均所得到的償還退回金額不變.</p><p><b>　　2.3符號說明 </b></p><p>　?。簩嵤┌踩ㄒ?guī)后的當前年，如=1表示實施法規(guī)的第一年</p><p>　　: 上一年第i級的總投保人數(shù)</p><p>　　: 當前年第i級的總投保人數(shù)</p><p>&

55、lt;b>　?。寒斈晷峦侗５娜藬?shù)</b></p><p>　?。寒斍澳甑趇級的索賠人數(shù)</p><p><b>　?。旱趇級交通事故率</b></p><p>　?。簩嵤┌踩ㄒ?guī)前第i級死亡率</p><p>　?。簩嵤┌踩ㄒ?guī)后第i級死亡率</p><p><b>　

56、?。旱趇級注銷率</b></p><p><b>　　：新投保人數(shù)增長率</b></p><p>　　: 第i級的補貼比例</p><p>　?。旱趇級平均死亡賠償費</p><p>　　: 實施安全法規(guī)前總死亡賠償費</p><p>　　: 實施安全法規(guī)后總死亡賠償費</p&g

57、t;<p><b>　?。旱趇級平均修理費</b></p><p>　　: 實施安全法規(guī)前總修理費</p><p>　　: 實施安全法規(guī)后總修理費</p><p>　　: 第i級平均醫(yī)療費 </p><p>　　: 實施安全法規(guī)前總醫(yī)療費</p><p>　　: 實施安全法規(guī)后總醫(yī)療

58、費</p><p>　?。簩嵤┌踩ㄒ?guī)前總賠償費</p><p>　　: 實施安全法規(guī)后總賠償費</p><p><b>　　： 醫(yī)療費下降比例</b></p><p>　　: 第i級注銷償還費</p><p>　　: 投保人當年的保險費</p><p>　　: 保險公司當

59、年的營業(yè)收入</p><p>　　: 保險公司當年的各種支出總和</p><p><b>　　2.4 模型建立</b></p><p>　　根據(jù)假設(shè)有以下式子：</p><p>　　事故發(fā)生率=索賠人數(shù)÷總投保人數(shù)</p><p>　　死亡率=死亡人數(shù)÷總投保人數(shù)</p&

60、gt;<p>　　注銷率=注銷人數(shù)÷總投保人數(shù)</p><p><b>　　新投保人數(shù)為：</b></p><p>　　第0級總投保人數(shù)=新投保人數(shù)+第0,1,2級中上一年索賠未注銷的人數(shù).即:</p><p>　　第1級總投保人數(shù)=第1級上一年未索賠未注銷的人數(shù)+第3級上一年索賠未注銷的人數(shù)，即：</p>

61、<p>　　第2級總投保人數(shù)=第1級上一年索賠未注銷的人數(shù)，即：</p><p>　　第3級總投保人數(shù)=第2級上一年未索賠未注銷的人數(shù)+第3級上一年未索賠未注銷的人數(shù)，即：</p><p><b>　　總收入：</b></p><p><b>　　注銷退還償還費:</b></p><p>

62、;　　一、實施安全法規(guī)前：</p><p><b>　　總死亡賠償費:</b></p><p><b>　　總修理費:</b></p><p><b>　　總醫(yī)療費:</b></p><p><b>　　總索賠費:</b></p><p

63、>　　二、實施安全法規(guī)后：</p><p><b>　　死亡率 </b></p><p><b>　　總死亡賠償費:</b></p><p><b>　　總修理費:</b></p><p><b>　　總醫(yī)療費:</b></p><

64、;p><b>　　總索賠費:</b></p><p><b>　　2.5 模型求解</b></p><p>　　由假設(shè)知每年新投保的增長率不變，因為我們假設(shè)了每輛汽車必須買保險，可以從汽車的增長率來求出新投保人數(shù)的增長率，下面的數(shù)據(jù)是可以在一定的程度反映汽車的增長率。</p><p>　　(數(shù)據(jù)來源：中國汽車工業(yè)協(xié)會

65、)</p><p>　　可以看出2000年的增長率為14.01%，2001年的增長了為13.2%。兩者很接近，可以假設(shè)汽車的增長率為。所以新投保的人數(shù)增長率也為13.6%，所以=13.6%。</p><p>　　表1 太平洋保險公司某年營業(yè)狀況統(tǒng)計表（I）</p><p>　　表2 太平洋保險公司某年營業(yè)狀況統(tǒng)計表（II）</p><p>　

66、　根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，可以計算出以下結(jié)果：</p><p>　　公司的支出 =149百萬元</p><p>　　通過上面的分析,模型可歸納為:</p><p>　　一、實施安全法規(guī)前：</p><p><b>　　求解得：</b></p><p>　　二、實施安全法規(guī)后：</p><

67、;p><b>　　求解得：</b></p><p><b>　　第三章 結(jié)論</b></p><p>　　3.1 計算結(jié)果比較</p><p>　　利用matlab計算，具體程序如下：</p><p>　　一、未頒布法令的情況：</p><p>　　N=[1665328

68、 1764897 1154461 8760058] ; </p><p>　　N1=[582756 582463 115857 700872]; </p><p>　　N2=[11652 23315 2292 7013]; </p><p>　　N3=[18264 28240

69、13857 324114]; </p><p>　　N4=[1280708 1764897 1154461 8760058]; </p><p>　　s=[0 0.25 0.4 0.5]; </p><p>　　b=[33985 37006 60015 70971] ;

70、 </p><p>　　c=[1020 1223 947 805]; </p><p>　　d=[1526 1231 823 814]; </p><p>　　a1=N1./N; </p><p>　　a2=N2./

71、N; </p><p>　　a3=N3./N; </p><p>　　n=384620.*(1+0.136);</p><p>　　N(1)=n+N1(1)*(1-a3(1))+N1(2)*(1-a3(2))+N1(3)*(1-a3(3));</p><p>　　N(2)=N(1)*(1-a1(1))*(1-a3(1))+N3(4)*(

72、1-a3(4));</p><p>　　N(3)=N(2)*(1-a1(2))*(1-a3(2));</p><p>　　N(4)=N(3)*(1-a1(3))*(1-a3(3))+N(4)*(1-a1(4))*(1-a3(3));</p><p>　　B=sum(a2.*N.*b);</p><p>　　D=sum((a1.*N-a2.*N

73、).*d);</p><p>　　C=sum(a1.*N.*c);</p><p>　　G=sum(a3.*N*182);</p><p>　　x=(B+C+D+G+1.49*10^8)/sum(N.*(1-s))</p><p>　　二、 頒布法令，醫(yī)藥費下降20%的情況</p><p>　　N=[1665328 1

74、764897 1154461 8760058] ; </p><p>　　N1=[582756 582463 115857 700872]; </p><p>　　N2=[11652 23315 2292 7013]; </p><p>　　N3=[18264 28240 13

75、857 324114]; </p><p>　　N4=[1280708 1764897 1154461 8760058]; </p><p>　　s=[0 0.25 0.4 0.5]; </p><p>　　b=[33985 37006 60015 70971] ;

76、 </p><p>　　c=[1020 1223 947 805]; </p><p>　　d=[1526 1231 823 814]; </p><p>　　a1=N1./N; </p><p>　　a2=N2./N;

77、 </p><p>　　a3=N3./N; </p><p>　　A2=a2*(1-0.4) </p><p><b>　　for i=i:5</b></p><p>　　n=384620.*(1+0.136);</p><p>　　N(1)=n+N1(1)*(1-a3(1))+N1(2)*(

78、1-a3(2))+N1(3)*(1-a3(3));</p><p>　　N(2)=N(1)*(1-a1(1))*(1-a3(1))+N3(4)*(1-a3(4));</p><p>　　N(3)=N(2)*(1-a1(2))*(1-a3(2));</p><p>　　N(4)=N(3)*(1-a1(3))*(1-a3(3))+N(4)*(1-a1(4))*(1-a3

79、(3));</p><p>　　B1=sum(A2.*N.*b);</p><p>　　D1=sum((a1.*N-A2.*N).*d*(1-0.2));</p><p>　　C1=sum(a1.*N.*c);</p><p>　　G=sum(a3.*N*182);</p><p>　　x=(B1+C1+D1+G+1.

80、49*10^8)/sum(N.*(1-s));</p><p><b>　　x</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　三、 頒布法令，醫(yī)藥費下降40%的情況</p><p>　　N=[1665328 1764897 1154461 8760058] ;

81、 </p><p>　　N1=[582756 582463 115857 700872]; </p><p>　　N2=[11652 23315 2292 7013]; </p><p>　　N3=[18264 28240 13857 324114]; </p&g

82、t;<p>　　N4=[1280708 1764897 1154461 8760058]; </p><p>　　s=[0 0.25 0.4 0.5]; </p><p>　　b=[33985 37006 60015 70971] ; </p><p

83、>　　c=[1020 1223 947 805]; </p><p>　　d=[1526 1231 823 814]; </p><p>　　a1=N1./N; </p><p>　　a2=N2./N; </p><p>　　a3=N3./

84、N; </p><p>　　A2=a2*(1-0.4) </p><p><b>　　for i=i:5</b></p><p>　　n=384620.*(1+0.136);</p><p>　　N(1)=n+N1(1)*(1-a3(1))+N1(2)*(1-a3(2))+N1(3)*(1-a3(3));</p&

85、gt;<p>　　N(2)=N(1)*(1-a1(1))*(1-a3(1))+N3(4)*(1-a3(4));</p><p>　　N(3)=N(2)*(1-a1(2))*(1-a3(2));</p><p>　　N(4)=N(3)*(1-a1(3))*(1-a3(3))+N(4)*(1-a1(4))*(1-a3(3));</p><p>　　B1=s

86、um(A2.*N.*b);</p><p>　　D1=sum((a1.*N-A2.*N).*d*(1-0.4));</p><p>　　C1=sum(a1.*N.*c);</p><p>　　G=sum(a3.*N*182);</p><p>　　x=(B1+C1+D1+G+1.49*10^8)/sum(N.*(1-s));</p>

87、;<p><b>　　x</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　計算得到以下數(shù)據(jù)：</b></p><p>　　1、沒有實施安全法規(guī)：。</p><p>　　2、實施安全法規(guī)后5年的保險費情況：</p>&l

88、t;p>　　從上面這個計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，頒布法令后，當=20%和40%時，五年內(nèi)的保險費用都是下降的，這說明法規(guī)對交通事故起了一定的抑制作用。因為保險費中各種支出的減少，所以導(dǎo)致保險費的有一定的減少.</p><p><b>　　3.2誤差分析</b></p><p>　　本解決方案與現(xiàn)實會有一定誤差，主要在于我們的幾個假設(shè)。為了方便計算，我們假設(shè)了a）自動終止保險

89、人數(shù)與總投保人數(shù)比例不變，而這些會產(chǎn)生一定誤差，只是誤差不會很大.假設(shè)b）每年的新投保人數(shù)按等比例增長，而實際上每年來保險公司投保的人數(shù)受報單價格和保險公司聲譽影響，不一定是按我們假設(shè)的成固定增長率增長.另外我們假設(shè)下一年的平均死亡賠償費，平均修理費，平均醫(yī)療費不變，這假設(shè)一般來說是合理的，但是如果遇到物價或市場不穩(wěn)定的時候，還要另外考慮它們的變化情況.</p><p><b>　　3.3模型評價<

90、;/b></p><p>　　本文所做的模型是在對許多現(xiàn)實做了近似假設(shè)的前提下建立起來的，有較大的誤差在所難免.模型中沒有討論現(xiàn)金的現(xiàn)值變化，所求得的一些重要的比例參數(shù)只由一年的數(shù)據(jù)算得，無法十分精確的與現(xiàn)實生活擬合.根據(jù)一些文獻資料，我們發(fā)現(xiàn)，個人索賠次數(shù)服從泊松分布的假設(shè)源于前人的大量統(tǒng)計得出，能夠較好地模擬現(xiàn)實.但是考慮到模型較復(fù)雜，會有相當?shù)挠嬎銖?fù)雜度，故假設(shè)每名司機每年最多只發(fā)生一次交通事故，從而

91、索賠次數(shù)最大為1，進而建立初等模型，列出方程，考慮到現(xiàn)實情況，此假設(shè)比較貼近事實，也應(yīng)當有較好的模擬性.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 李銳. 汽車保險精算模型新探[J]. 統(tǒng)計與決策 , 2004,(10) . [2] 汪瑩. 從美國汽車保險談我國汽車保險改革[J].華東經(jīng)濟管理,2004,(03) .

92、 [3] 孟生旺,袁衛(wèi). 汽車保險的精算模型及其應(yīng)用[J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理, 2001,(03) . </p><p>　　[4] 鄧桂菊. 一個投資問題的數(shù)學模型[J]. 鞍山師范學院學報 , 2004,(04) . [5] 賈焱. 我國汽車保險市場體系的構(gòu)建[J]. 市場周刊.財經(jīng)論壇 , 2003,(09) . </p><p>　　

93、[6] 鄒銳標,廖基定. 汽車保險的數(shù)學模型[J].長春工業(yè)大學學報（自然科學版）,2004,(2).</p><p>　　[7] 孟生旺. 廣義線性模型在汽車保險定價的應(yīng)用[J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理, 2007,(01) .</p><p>　　[8] 王成勇，劉次華. 汽車保險的廣義泊松過程模型[J]. 經(jīng)濟數(shù)學. 2005,(2).</p><p>　　[9]

94、吳永, 張林華 , 甄少明 , 李正良. 汽車保險獎懲模型探討[J]. 重慶大學學報(自然科學版)，2006,(10).</p><p>　　[10] 肖宇谷, 孟生旺 , 夏露. 中國汽車保險的最優(yōu)索賠策略[J]. 運籌與管理，2007,（2） .</p><p>　　[11] 賢福忠，趙明清. 汽車保險及NCD系統(tǒng)研究[D]. 2007.5 .</p><p>

95、　　[12] 孟生旺. 保險定價：經(jīng)驗估費系統(tǒng)研究[M].北京：中國金融出版社，2004.</p><p>　　[13] 曾娟. 機動車輛保險與理賠[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2005 .</p><p>　　[14] 趙霞，李學芳. 淺談汽車保險精算中的NCD系統(tǒng)[J]. 山東經(jīng)濟. 2004,(11).</p><p>　　[15] 劉燕，唐應(yīng)輝. 非壽險計

96、費的新方法—NCD系統(tǒng)的進一步改進[J]. 第三屆不確定系統(tǒng)年會論文集, 2005.8 .</p><p>　　[16] 王奕渲，周叔子.一種基于索賠次數(shù)和索賠額的獎懲系統(tǒng)[J]. 湖南大學學報（自然科學版），2002（12）.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　致謝值此畢業(yè)論文完成之際,衷心感謝我的畢業(yè)設(shè)計

97、指導(dǎo)老師張霞教授。從畢業(yè)設(shè)計選題、如何展開到如何深入的過程中，張老師一直給予我悉心的指導(dǎo)。張老師淵博的專業(yè)知識，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠。不僅使我樹了遠大的學術(shù)目標、掌握了基本的研究方法，還使我明白了許多待人接物與為人處世的道理。本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血。在此，再次向張老師表示崇高的敬意和