22072.分?jǐn)?shù)階方程的高效及高精度譜方法研究

1、廈門大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下，獨(dú)立完成的研究成果。本人在論文寫作中參考其他個(gè)人或集體己經(jīng)發(fā)表的研究成果，均在文中以適當(dāng)方式明確標(biāo)明，并符合法律規(guī)范和《廈門大學(xué)研究生學(xué)術(shù)活動(dòng)規(guī)范(試行)》。另外，該學(xué)位論文為()課題(組)的研究成果，獲得()課題(組)經(jīng)費(fèi)或?qū)嶒?yàn)室的資助，在()實(shí)驗(yàn)室完成。(請(qǐng)?jiān)谝陨侠ㄌ?hào)內(nèi)填寫課題或課題組負(fù)責(zé)人或?qū)嶒?yàn)室名稱，未有此項(xiàng)聲明內(nèi)容的，可以不作特別聲明。)。蚴_毛獅啪年歲月珞日中文

2、摘要中文摘要分?jǐn)?shù)階方程是在研究物質(zhì)在復(fù)雜系統(tǒng)傳輸過程中所出現(xiàn)的反常擴(kuò)散及非指數(shù)模式時(shí)所出現(xiàn)的一類微分方程。近些年來，研究表明，分?jǐn)?shù)階方程能更準(zhǔn)確地描述包含自然科學(xué)、數(shù)學(xué)、工程、生物科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)等在內(nèi)的各學(xué)科領(lǐng)域中的許多現(xiàn)象。本文旨在研究分?jǐn)?shù)階方程的數(shù)值解。分?jǐn)?shù)階算子的全局性使得傳統(tǒng)的局部算法，比如差分法和有限元法，失去了其在求解整數(shù)階方程中的優(yōu)勢(shì)，而譜方法作為全局性算法，其所存在的主要缺點(diǎn)對(duì)于求解分?jǐn)?shù)階方程而言將不復(fù)存在，且譜方法的另一

3、個(gè)優(yōu)點(diǎn)是其能更自然的處理分?jǐn)?shù)階算子中的奇異核函數(shù)。本文的主要目的就是研究分?jǐn)?shù)階方程的高效及高階譜方法。具體內(nèi)容如下：第一章，推導(dǎo)了描述多孔介質(zhì)中溶質(zhì)反常擴(kuò)散的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，概述了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程解析解與數(shù)值解方面的研究現(xiàn)狀，陳述了譜方法在分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程數(shù)值解研究中的優(yōu)勢(shì)與難點(diǎn)，并對(duì)所提難點(diǎn)給出了相應(yīng)對(duì)策，隨之列出了本文的研究內(nèi)容及主要學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)，最后將本文所需的預(yù)備知識(shí)予以了簡介。第二章，給出了守恒型與非守恒型高維變系數(shù)分?jǐn)?shù)階橢圓方程的高

4、效算法，該算法是整數(shù)階微分方程高效譜方法的推廣。具體來說，也就是對(duì)系數(shù)可分問題采用矩陣分解，即離散分離變量法，而對(duì)系數(shù)不可分問題采用預(yù)處理CG或BICGSTAB迭代法，預(yù)處理子所采用的是適當(dāng)?shù)某Ｏ禂?shù)分?jǐn)?shù)階橢圓算子，且該算子可用可分問題的快速解法求解。該算法的計(jì)算量為O(Nd1)，其中d為空間維數(shù)。我們嚴(yán)格推導(dǎo)了該算法的帶權(quán)誤差估計(jì)，針對(duì)解在邊界具有奇性的問題，該誤差估計(jì)能提供更為準(zhǔn)確的收斂階數(shù)。我們還列出了大量的數(shù)值結(jié)果來驗(yàn)證所給算法與

5、誤差估計(jì)。第三章，討論了兩類帶不同邊界條件的Riesz型分?jǐn)?shù)階微分方程的PetrovGalerkin譜逼近。利用廣義Jacobi函數(shù)與Riesz分?jǐn)?shù)階微積分之間的譜關(guān)系，對(duì)帶齊次Dirichlet邊界的分?jǐn)?shù)階微分方程，以一類特別的廣義Jacobi函數(shù)構(gòu)造解空間來逼近方程的解，同時(shí)我們還討論了這類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。而對(duì)于帶積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程，我們則是將其化為等價(jià)的整數(shù)階方程，通過所得整數(shù)階方程的解再重構(gòu)分?jǐn)?shù)階方程的解。這兩類算法都