發(fā)展方程的高精度有限元方法研究.pdf

1、本文主要針對幾類發(fā)展方程(諸如非線性Schr¨odinger方程、Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程、非定常不可壓縮Navier-Stokes方程、Cahn-Hilliard(CH)方程以及對流占優(yōu)擴(kuò)散方程),分別從非協(xié)調(diào)有限元方法、協(xié)調(diào)和非協(xié)調(diào)混合元方法出發(fā),對其收斂性、超逼近和超收斂等進(jìn)行了深入系統(tǒng)的研究。
　　本研究首先將一個非協(xié)調(diào)四邊形單元(改進(jìn)類 Wilson元)運(yùn)用于求解非線性 Schr-¨odin

2、ger方程.通過該單元相容誤差在能量模意義下可以達(dá)到 O(h3)階,比其插值誤差高兩階這一特殊性質(zhì),對于半離散以及兩種全離散格式(Backward-Euler(B-E)和Crank-Nicolson(C-N)格式),在廣義矩形網(wǎng)格下導(dǎo)出了最優(yōu)誤差估計(jì)和超逼近性質(zhì).進(jìn)一步地,通過插值后處理技術(shù),在矩形網(wǎng)格下得到了整體超收斂結(jié)果。最后給出數(shù)值算例來驗(yàn)證理論的正確性和方法的有效性。其次,研究了BBM方程的低階非協(xié)調(diào)有限元方法及混合元新格式.一

3、方面,利用EQrot1元的兩個特殊性質(zhì)(插值算子等價(jià)于Ritz投影算子,且相容誤差為O(h2)階,比插值誤差高一階),分別在半離散和兩種全離散格式(B-E和C-N格式)下導(dǎo)出其能量模意義下的超逼近和整體超收斂結(jié)果.另一方面,對該方程構(gòu)造一種新的非協(xié)調(diào)混合元格式,借助于零階Raviart-Thomas(R-T)元的高精度特性,同樣在半離散以及全離散格式下得到了相關(guān)變量的超逼近和超收斂結(jié)果,并給出數(shù)值例子檢驗(yàn)理論分析的正確性。再次,針對非定

4、常不可壓縮Navier-Stokes方程提出了一個低階非協(xié)調(diào)混合元方法.運(yùn)用帶約束的旋轉(zhuǎn)Q1(CQrot1)元以及分片常數(shù)(Q0)元分別逼近速度?u和壓力p,并得到了能量模下?u以及L2模下p的超逼近和超收斂結(jié)果.同時還進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn),所得數(shù)值結(jié)果與理論分析相吻合。而后,對CH方程建立一個新的非協(xié)調(diào)混合元分析框架.利用一類非協(xié)調(diào)元的特殊性質(zhì)(相容誤差為O(h2)階,比插值誤差高一階)和插值后處理技術(shù),分別在半離散和B-E全離散格式下得到