分?jǐn)?shù)階-Tempered 分?jǐn)?shù)階微分方程的高階差分方法和譜方法.pdf

1、作為經(jīng)典整數(shù)階算子的推廣,分?jǐn)?shù)階算子能夠比經(jīng)典導(dǎo)數(shù)更為準(zhǔn)確地描述粒子在時空下的分布狀態(tài),因此,它已成為描述反常擴散問題的最為有效的工具.近些年來,分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程也被應(yīng)用到許多新的研究領(lǐng)域,如金融,水文,混動同步,多向多渦卷吸引子等模型問題.分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)模型中取得的進展激發(fā)了人們對其數(shù)值算法的研究興趣.與經(jīng)典算子不同的是,由于分?jǐn)?shù)階算子的非局部性質(zhì),求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析解很困難,甚至有時是不可能的;或者所得到的

2、解析解是用超幾何函數(shù)或者無窮級數(shù)來表示的.因此,用高效的數(shù)值方法來求解分?jǐn)?shù)階微分方程是很有必要的.
　　本文由以下五個章節(jié)組成.第一章,本文簡要回顧了分?jǐn)?shù)階算子和tempered分?jǐn)?shù)階算子的發(fā)展背景以及數(shù)值求解分?jǐn)?shù)階問題已有的一些研究成果.
　　第二章節(jié)中,基于Gr¨unwald離散公式逼近分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)時存在超收斂點(超收斂點不在等分網(wǎng)格上)的事實,導(dǎo)出了一系列求解分?jǐn)?shù)階微分方程的高階偽緊差分格式,其偽緊性表現(xiàn)為:計算中,所有

3、高階(二階,三階,四階,甚至更高階數(shù))的格式都不會用到定義域以外的離散點;此外,這些高階格式對應(yīng)的方程組中矩陣均有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu).隨后,該章節(jié)中還給出了一些具體格式的穩(wěn)定性和收斂性分析.高精度格式一般需要解的正則性也要好,對于具有非局部性質(zhì)的分?jǐn)?shù)階算子而言,相應(yīng)解正則性往往是表現(xiàn)在整個實軸R上的;而本章給出了一種處理技巧可使得本文導(dǎo)出的高階偽緊差分格式同樣適用于解以及其導(dǎo)數(shù)在邊界點處取值可不為零的問題.多個數(shù)值試驗的結(jié)果表明了本文理論分

4、析的正確性,同時也驗證了所導(dǎo)各階偽緊格式的有效性.
　　本文在第三章節(jié)討論分?jǐn)?shù)階算子在非一致網(wǎng)格上的算法設(shè)計.在過去的幾十年里,求解分?jǐn)?shù)階微分方程的差分方法有著較快的發(fā)展,然而就所掌握的知識,目前已有的一階以及高階有限差分格式,均是需要在一致網(wǎng)格上計算的.高階格式要想達(dá)到高精度的效果,需要解的正則性也要好;如果解受正則性的限制,那么一致網(wǎng)格上高階格式的設(shè)計也就沒有太大的意義.而空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性質(zhì)又使得有限差分格式的計算在非

5、一致網(wǎng)格上顯得格外的困難.本文該章節(jié)中給出一個基本策略,描述如何實現(xiàn)在非一致網(wǎng)格上用已有的一階以及高階離散格式來逼近分?jǐn)?shù)階算子;并用導(dǎo)出的非一致網(wǎng)格上的一階和二階格式來求解空間分?jǐn)?shù)階微分方程.隨后,該章節(jié)也詳細(xì)給出了格式的誤差分析和穩(wěn)定性分析;并列出多個數(shù)值實驗結(jié)果來驗證文中理論分析和收斂結(jié)果的正確性.
　　事實上,上述給出的求解分?jǐn)?shù)階微分方程的有限差分方法均可以推廣到求解tempered分?jǐn)?shù)階問題中去,本質(zhì)上不會有任何困難.在第

6、四章節(jié)中,本文通過引進分?jǐn)?shù)階積分空間的概念,來討論在該空間下的tempered分?jǐn)?shù)階對流/擴散問題的譜方法設(shè)計.文中所定義的分?jǐn)?shù)階積分空間有以下特點:(i)當(dāng)積分階數(shù)α∈(0,1)時,空間中的函數(shù)在邊界上不需要是齊次的;(ii)在該空間里,tempered分?jǐn)?shù)階算子與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階算子是等價的.這樣一來,可以選擇適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)階積分空間,并在其中導(dǎo)出tempered分?jǐn)?shù)階對流/擴散問題的變分形式;進而用類似于經(jīng)典微