分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程和分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的高精度算法.pdf

1、近年來(lái)，隨著對(duì)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中各種復(fù)雜系統(tǒng)的深入研究，分?jǐn)?shù)階微積分在反常擴(kuò)散、黏彈性力學(xué)、軟物質(zhì)、電磁學(xué)、系統(tǒng)控制、生物醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域有了許多成功的應(yīng)用，有關(guān)其理論和應(yīng)用的研究在國(guó)際上已成為熱點(diǎn)。分?jǐn)?shù)階微分方程在描述一些具有記憶性或非局部性質(zhì)的過(guò)程或材料時(shí)比整數(shù)階微分方程模型更有優(yōu)勢(shì)，其解析解通常難以獲得且大多含有計(jì)算困難的特殊函數(shù)，這激發(fā)了廣大研究者從事分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)數(shù)值求解的興趣。
　　當(dāng)前求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程、分

2、數(shù)階變分問(wèn)題及分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值方法主要集中于有限差分方法，其存儲(chǔ)要求高，計(jì)算量大，精度低。又因sinc函數(shù)和分?jǐn)?shù)次Jacobi多項(xiàng)式在逼近許多特殊函數(shù)時(shí)具有指數(shù)階收斂性，故本文充分利用它們的這種優(yōu)點(diǎn)，采用它們作為基函數(shù)，發(fā)展了求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題、分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題及分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的高精度數(shù)值方法。主要內(nèi)容和成果如下：
　　第一章介紹了分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程、分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題與分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題及其

3、求解方法的研究背景和現(xiàn)狀，提出了本文的研究動(dòng)機(jī)，并簡(jiǎn)要列出了全文的研究?jī)?nèi)容和結(jié)構(gòu)。
　　第二章首先介紹了與論文相關(guān)的一些特殊函數(shù)和Jacobi正交多項(xiàng)式，然后對(duì)三種常用的分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念及其若干性質(zhì)進(jìn)行了闡述。
　　第三章結(jié)合有限差分方法和sinc配置逼近對(duì)一類分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值求解。首先利用有限差分方法在時(shí)間方向上對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行了半離散化，然后在空間方向上采用sinc配置法得到了全離散格式。根據(jù)

4、sinc函數(shù)的一些性質(zhì)，在每個(gè)時(shí)間步上，原問(wèn)題被簡(jiǎn)化為求解線性代數(shù)方程系統(tǒng)。該方法的穩(wěn)定性和收斂性理論被嚴(yán)格建立，并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了理論結(jié)果。接下來(lái)，從積分形式的主方程出發(fā)導(dǎo)出了標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，證明了該積分形式的主方程與連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走（CTRW）模型是等價(jià)的，并采用sinc-Chebyshev配置方法對(duì)前述分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程進(jìn)行了數(shù)值求解。數(shù)值例子驗(yàn)證了該方法的可行性和高效性。特別地，當(dāng)在sinc配置方法中引

5、入雙指數(shù)變換時(shí)，空間方向的精度得到了較大提高。
　　第四章發(fā)展了一種指數(shù)精度的Rayleigh-Ritz方法求解分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題?；诜?jǐn)?shù)階Sturm-Liouville特征問(wèn)題的分?jǐn)?shù)次Jacobi多項(xiàng)式被用來(lái)作為基函數(shù)以逼近分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的真解，并通過(guò)Rayleigh-Ritz技術(shù)得到了與原問(wèn)題相關(guān)的線性代數(shù)方程系統(tǒng)。進(jìn)一步分析了該方法的分?jǐn)?shù)階變分的收斂性，并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了該方法具有指數(shù)收斂。所發(fā)展的方法在精度上優(yōu)于當(dāng)前各文獻(xiàn)