分數(shù)階反應—擴散方程的數(shù)值近似.pdf

1、近些年來，人們漸漸發(fā)現(xiàn)分數(shù)階導數(shù)在許多科學領域中發(fā)揮了越來越重要的作用，特別在工程，物理，金融，水文等領域。分數(shù)階的微分方程證明對于模擬許多物理現(xiàn)象是一個很有用的數(shù)學工具。與整數(shù)階模型相比，分數(shù)階模型的顯著優(yōu)點在于它有著堅實的實用背景和物理解釋。其中分數(shù)階反應-擴散方程近年來在許多領域受到越來越多的關注，但是有關空間時闖分數(shù)階反應-擴散方程的數(shù)值方法及穩(wěn)定性和收斂性的分析還十分有限。特別當反應項是非線性的時候還很難來處理。 本文

2、從三個方面來討論分數(shù)階反應-擴散方程的數(shù)值近似，分別是時間分數(shù)階反應-擴散方程的隱式有限差分格式，空間時間分數(shù)階反應-擴散方程的顯式差分近似和隱式差分近似，以及用Adomian分解方法求解線性和非線性空間時間分數(shù)階反應-擴散方程。首先考慮時間分數(shù)階反應一擴散方程(時間分數(shù)階導數(shù)a(0

3、點給出了穩(wěn)定性和收斂性的詳細誤差分析.接著考慮空間時間分數(shù)階反應-擴散方程(時間分數(shù)階導數(shù)α(0<α≤1)是Caputo定義的，空間分數(shù)階導數(shù)β(1<β≤2)是Riemman-Liouville定義的)，對此方程用有效的差分形式來逼近時間分數(shù)階導數(shù)，用移動的Grunwald公式來逼近空間分數(shù)階導數(shù)，并提出了計算有效的顯式差分近似和隱式差分近似，然后應用數(shù)學歸納法和分數(shù)階離散系數(shù)的特點分別給出了兩種近似的穩(wěn)定性和收斂性的詳細誤差分析。最后

4、考慮線性和非線性空間時間分數(shù)階反應一擴散方程(時間分數(shù)階導數(shù)α(0<α≤1)和空間分數(shù)階導數(shù)β(1<β≤2)都是Caputo定義的)。Adomian分解方法能夠很好的處理非線性反應項，并且對于方程不用離散就能提供高精度的近似解，而且增加分解序列新的項就能使總體誤差變的很小，所以通過Adormian分解方法可以很有效的得到線性和非線性空間時間分數(shù)階反應-擴散方程的近似解。在每一部分都給出了數(shù)值例子來證實所提出的數(shù)值方法的有效性。從本文的討