分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的幾種數(shù)值解法.pdf

1、盡管分?jǐn)?shù)階微積分的歷史幾乎和整數(shù)階的一樣長,但是由于缺少相關(guān)的實際應(yīng)用背景,分?jǐn)?shù)階微積分在其初期發(fā)展十分緩慢.眾所周知,對于解釋和模擬許多應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域的動力學(xué)過程,經(jīng)典微積分都是一個強(qiáng)有力的工具.但是,越來越多的實驗和現(xiàn)實告訴我們,在自然界的反常動力學(xué)中有許多復(fù)雜系統(tǒng),不能用經(jīng)典的導(dǎo)數(shù)模型來描述.因此,在最近的十幾年里,分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)被應(yīng)用于幾乎所有科學(xué),工程和數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中去.
　　 物理中,反常擴(kuò)散或許是一種最常研究的復(fù)雜問

2、題.我們利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),可以將經(jīng)典的整數(shù)階擴(kuò)散與波的偏微分方程,推廣到時間和空間的分?jǐn)?shù)階上去.進(jìn)而再擴(kuò)展到各類非線性方程并給出其初邊值問題的解,是近幾年來分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用的-個主要領(lǐng)域.-般來講。這些問題大都具非常重要的實際應(yīng)用背景。如在分形和多孔介質(zhì)中的彌散、半導(dǎo)體物理、湍流及凝聚態(tài)物理等.
　　 本文主要研究一些分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程及其數(shù)值解法,共由四個彼此相關(guān)而又相互獨立的章節(jié)構(gòu)成.第一章簡要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的歷史、理論及其應(yīng)

3、用,以及文中將用到的一些基本知識。和相關(guān)數(shù)值解的現(xiàn)有研究成果；第二章和第三章研究的都是雙邊空間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程,在這兩章中我們分別給出了此類方程的幾類不同有限差分法,主要有分?jǐn)?shù)階權(quán)平均法、改進(jìn)型權(quán)平均法和特征有限差分法等；而在最后一章中,我們則是給出了時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的一種高精度隱式數(shù)值解法.
　　 第一章為序言.首先了介紹分?jǐn)?shù)階微積分的歷史及其發(fā)展情況,并給出了幾種常用的分?jǐn)?shù)階算子定義以及它們的一些基本性質(zhì),例如:Riem

4、ann-Liouville分?jǐn)?shù)階算子,Caputo分?jǐn)?shù)階算子和Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階算子等。同時還列出了幾個相關(guān)的運算性質(zhì).然后,在§1.3中,我們對Mittag-Leffier型特殊函數(shù)和它的基本性質(zhì)也進(jìn)行了一定的敘述,這類特殊函數(shù)主要包括單參數(shù)的Mittag-Lefflier函數(shù)和兩參數(shù)的廣義Mittag-Lefflter函數(shù).這類特殊函數(shù)常常是很多分?jǐn)?shù)階微分方程的基本解,其它具有類似性質(zhì)的特殊函數(shù)還有Wright

5、函數(shù)和H-fox函數(shù),等等.
　　 此外,在本章中的§1.4,我們還歸納敘述了目前為止,幾類常見的分?jǐn)?shù)階微分方程的一些數(shù)值解法.例如,有限差分法,有限元法,微分變換法,Adomian區(qū)域分解法,變分迭代法,同倫攝動法,等等.同時對每種方法分別列舉出了一些相關(guān)研究成果.最后,在本章的最后一節(jié)中,我們較詳細(xì)的介紹了分?jǐn)?shù)階微積分在當(dāng)前非線性物理復(fù)雜系統(tǒng)的各個領(lǐng)域中的應(yīng)用.
　　 在接下來的章節(jié)中,我們將研究兩種不同的反常擴(kuò)散模

6、型.在第二章中,主要研究1維空間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程.我們根據(jù)移位Grünwald公式離散Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。從而提出了方程的分?jǐn)?shù)階權(quán)平均法.通過理論研究和算例分析,可以得知以前出現(xiàn)過的一些相關(guān)數(shù)值算法,它們大都是此方法的某些特例.在§2.3中,我們利用圓盤定理和矩陣法證明了分?jǐn)?shù)階權(quán)平均法的穩(wěn)定性,具體理論結(jié)果由定理2.1詳細(xì)給出.
　　 然后,在§2.4中,我們又討論了分?jǐn)?shù)階權(quán)平均法的一種新的改進(jìn)格式,

7、并再次給出了相關(guān)穩(wěn)定性分析.最后,則是用數(shù)值例子來驗證理論的正確性,同時又計算了分?jǐn)?shù)階權(quán)平均法的特例,分?jǐn)?shù)階Crank-Nicholson(FCN)法.顯然,無條件穩(wěn)定又擁有2階時間精確度的FCN法更好一些.本章部分內(nèi)容已經(jīng)公開發(fā)表在Physics Letters A.
　　 在第三章中,關(guān)于雙邊空間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程,據(jù)我們所知,目前為止,它的數(shù)值解法全都是Eulerian法.結(jié)果,這些方法都具有和2階對流擴(kuò)散方程相同的數(shù)值局

8、限性.在本章中,結(jié)合移位Grünwald-Letnikov有限差分過程以及Lagrangian法,我們在§3.3中首次提出了一種分?jǐn)?shù)階特征有限差分法(CFDM).此法保留了2階對流擴(kuò)散方程特征法和分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程有限差分法的所有數(shù)值優(yōu)點.在§3.4中,我們證明了這種方法是無條件穩(wěn)定、相容和收斂的,并且給出了本方法誤差估計的最大值.
　　 在§3.5中,我們給出了-個實際算例的數(shù)值模擬,并把分?jǐn)?shù)階特征有限差分法和其它的分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)

9、差分法相比較.算例結(jié)果表明,這種分?jǐn)?shù)階新CFDM在精度和穩(wěn)定性上都大大優(yōu)于其它已知方法,例如顯式迎風(fēng)差分法和隱式迎風(fēng)差分法等.并且,此法對于對流占優(yōu)問題,顯得尤為高效、優(yōu)越.本章內(nèi)容已投到Journal of ComputationalPhysics.
　　 在第四章中,我們主要討論的是一類時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程.反常次擴(kuò)散運動是復(fù)雜系統(tǒng)中-個特別重要的內(nèi)容,如在一些有機(jī)和無序材料中,它的運動路徑被一些幾何或能量因子約束著.對于反常

10、次擴(kuò)散隨機(jī)游走過程的數(shù)學(xué)模型,一般擴(kuò)散方程則會被Riemann..Liouville分?jǐn)?shù)階時間擴(kuò)散方程所替代.分析表明,這些分?jǐn)?shù)階模型顯然比經(jīng)典的整數(shù)階模型更加符合實際背景.
　　 在本章中,首先我們我們利用移位Grünwald公式來逼近時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),并且使用中心差分格式去逼近l階時間導(dǎo)數(shù)和2階空間導(dǎo)數(shù),從而提出了此類擴(kuò)散方程的一種新的隱式差分法.它是一種三層差分格式,其中第一時間層的數(shù)值解可以由全隱式格式或Crank-Nic