時間空間分?jǐn)?shù)階BlocH-Torrey方程的高階數(shù)值解法.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微積分最近十多年來越來越多地引起人們的關(guān)注.它可以成功地描述工程、物理、化學(xué)、生物以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的許多現(xiàn)象.由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)固有的非局部屬性，在最近幾年，它己被證明可以用來描述一些與記憶和遺傳有關(guān)的現(xiàn)象或過程.這些重要的應(yīng)用促使我們努力的尋求高效、穩(wěn)定并且易于執(zhí)行的算法來求解分?jǐn)?shù)階微分方程.本文用有限差分方法研究了時間空間分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程的高精度的數(shù)值解法，并證明所建立的算法的穩(wěn)定性和收斂性.
　　文章分為

2、兩大部分.
　　第一部分，研究了一維時間空間分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程的兩個高階數(shù)值算法，并給出相應(yīng)的先驗估計式.首先，利用加權(quán)位移的Grünwald-Letnikov算子來離散Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，得到一個關(guān)于時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的三階逼近;對于空間方向的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，利用中心差商公式來離散Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，得到了空間方向的二階逼近.這樣對方程構(gòu)造了高階差分格式A，使其時間方向和空間方向在L1(L2)范數(shù)下分別達(dá)到三階和二

3、階精度.利用離散的能量分析方法，嚴(yán)格證明了該差分格式的唯一可解性、無條件穩(wěn)定性和收斂性，并且給出了數(shù)值算例驗證了數(shù)值解的精確性和差分格式的有效性.然后，對于時間方向的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)仍采用剛才提到的離散方法來離散;對于空間方向的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，用中心差商公式來離散Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在三點(diǎn)的加權(quán)值，得到空間方向的一個四階逼近.這樣對方程構(gòu)造了高階差分格式B，其在時間和空間方向達(dá)到三階和四階精度.同樣，我們利用離散的能量分析方法，嚴(yán)格證明了高階差分

4、格式B的唯一可解性、無條件穩(wěn)定性和收斂性，并且給出了數(shù)值算例驗證了數(shù)值解的精確性和差分格式的有效性.第二部分，研究了二維時空分?jǐn)?shù)階Bloch-Torrey方程的兩個高階的數(shù)值解法，并給出相應(yīng)的先驗估計式;然后給出四個交替方向的差分格式.首先，對于時間方向和空間方向的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，采用一維情形時得到差分格式A時用到的離散技巧，分別利用三階逼近公式來離散Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、利用二階逼近公式來離散Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);這樣對二維問題構(gòu)造了高

5、階差分格式C，使其在時間方向和空間方向在L1(L2)范數(shù)下分別達(dá)到三階精度和二階精度.利用離散能量分析方法，嚴(yán)格證明了所建立的高階差分格式C的唯一可解性、無條件穩(wěn)定性和收斂性，并且給出了數(shù)值算例驗證了數(shù)值解的精確性和差分格式的有效性.然后，對空間方向的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散，采用一維情形時得到差分格式B時用到的離散技巧，得到了空間方向的四階逼近.這樣對二維問題構(gòu)造了高階差分格式D，使其在時間方向和空間方向在L1(L2)范數(shù)下分別達(dá)到三階精度和