空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的數(shù)值解及其應(yīng)用.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微分方程是指方程中含有非整數(shù)階的導(dǎo)數(shù)，它非常有效地描述各種各樣物質(zhì)的記憶和遺傳性質(zhì)，在工程、物理、金融、水文等領(lǐng)域中發(fā)揮了越來(lái)越重要的作用。遺憾的是，大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解都含有復(fù)雜的級(jí)數(shù)或者特殊函數(shù)，不利于進(jìn)行近似計(jì)算.于是對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行數(shù)值求解變得尤其重要.目前分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解的工作皆以拋物型方程為主要研究對(duì)象，數(shù)值方法多采用有限差分方法.本文也是采用差分法討論拋物型方程，有所不同的是兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程比較復(fù)

2、雜. 本文所討論的第一種拋物型方程是從隨機(jī)游走和一種隨機(jī)過(guò)程的穩(wěn)定分布推導(dǎo)出的Lévy-Feller對(duì)流一擴(kuò)散微分方程，方程中含有較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)-Riesz-Feller分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，它含有雙側(cè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，并且含有傾斜度參數(shù)，是一種非對(duì)稱(chēng)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，這使得方程的離散處理起來(lái)變得復(fù)雜。 本文所討論的第二種拋物型方程是從滲流問(wèn)題中推廣得到的高維分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程，分別討論了二維和三維情形的數(shù)值解.如果采用一般的差分方法

3、離散此微分方程，得到的差分方程在計(jì)算過(guò)程中的計(jì)算量非常龐大，因此本文參考整數(shù)階高維情形的處理方法，提出了幾種修正的交替方向法.但是與整數(shù)階方程不同的是，在三維情形中，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性使得在構(gòu)造差分格式時(shí)所添加的攝動(dòng)項(xiàng)也非常復(fù)雜，由此所構(gòu)造差分格式的理論分析也變得比較復(fù)雜。 第一章討論了本論文的研究背景和意義，總結(jié)了前人所做的工作，給出本論文的研究?jī)?nèi)容和結(jié)構(gòu)。 第二章中首先給出本文中用到的各種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及其性質(zhì)，然

4、后從隨機(jī)游走和一種隨機(jī)過(guò)程的穩(wěn)定分布中推導(dǎo)出第三章討論的Lévy－Feller對(duì)流一擴(kuò)散方程；從滲流問(wèn)題中推導(dǎo)第四章和第五章討論的高維空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程。 第三章討論描述服從某種穩(wěn)定分布反常擴(kuò)散的非對(duì)稱(chēng)空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程－Lévy－Feller對(duì)流一擴(kuò)散方程，首先利用Fourier變換和Laplace變換給出方程的基本解，然后利用Griinwald－Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)移位離散算子離散方程中的Riesz-Fel

5、ler分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)得到離散格式，證明此格式可以解釋為離散隨機(jī)游走模型，并且證明了當(dāng)時(shí)間和空間步長(zhǎng)以一定的比率同時(shí)趨于0時(shí)，所提出的離散隨機(jī)游走模型收斂到Lévy－Feller對(duì)流.擴(kuò)散過(guò)程的穩(wěn)定分布.接下來(lái)提出求解有界區(qū)域內(nèi)的Lévy-Feller對(duì)流.擴(kuò)散微分方程的顯式差分格式，并且利用前面隨機(jī)游走模型中的結(jié)論證明了顯式格式的穩(wěn)定性和收斂性. 第四章討論帶有不同邊界條件的二維多孔介質(zhì)中兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階滲流方程的數(shù)值模擬：提出一種修正的

6、交替方向隱格式——分?jǐn)?shù)階Euler隱格式求解均勻介質(zhì)中的非連續(xù)滲流方程，對(duì)所提出的格式進(jìn)行穩(wěn)定性和相容性分析；提出修正的Peaceman-Rachford格式求解非均勻介質(zhì)中的連續(xù)滲流方程，給出穩(wěn)定性和相容性分析，并且采用Richardson外推技巧，將離散格式的逼近階數(shù)提高到二階。 第五章討論三維多孔介質(zhì)中兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階滲流方程的數(shù)值模擬：一種是均勻介質(zhì)中的非連續(xù)滲流方程，另一種是非均勻介質(zhì)中連續(xù)滲流方程.提出一種修正的交替方向隱