高維腫瘤生長模型自由邊界問題的數(shù)學分析.pdf

1、本文針對multi—layer型的腫瘤生長模型，對一類定義在無界區(qū)域上的高維自由邊界問題進行系統(tǒng)的研究，建立該問題的適定性和解的漸近性態(tài)。Cui，Escher和Zhou等人曾對帶有周期邊界條件的這類高維自由邊界問題進行了系統(tǒng)的研究.本文則研究非周期邊界條件的情形.這種情況與帶有周期邊界條件的同類問題性質(zhì)上有較大的區(qū)別，原因在于帶有周期邊界條件的問題可約化為無邊界的緊致流形上的問題，其線性化問題的譜是離散譜即只含有特征值，而我們這里研究的

2、非周期邊界條件的自由邊界問題是非緊致流形上的問題，其線性化問題的譜是連續(xù)譜，必須借助于擬微分算子等工具來計算.全文共分五章. 第一章，是本文的綜述. 第二章，我們研究只含營養(yǎng)物不含抑制物的multi—layer型腫瘤生長模型擬穩(wěn)態(tài)情形的自由邊界問題.對帶有周期邊界條件的同類問題，已由Cui和Escher最近解決.本文研究非周期邊界條件的情形.我們首先證明該問題在適當?shù)暮瘮?shù)空間中是適定的.然后研究解的漸近行為.通過應(yīng)用擬微

3、分算子等工具計算線性化問題的譜和利用線性化原理，我們證明了存在臨界值γ*，使得如果自由邊界的表面張力系數(shù)γ>γ*，唯一的扁平穩(wěn)態(tài)解是漸近穩(wěn)定的，而如果γ<γ*，這個扁平穩(wěn)態(tài)解是不穩(wěn)定的.主要方法是把該問題轉(zhuǎn)化為Banach空間上的微分方程，并應(yīng)用擬微分算子等工具來計算線性化算子的譜，然后應(yīng)用抽象空間中拋物型微分方程適定性理論和幾何理論得到原問題的適定性和漸近性態(tài). 第三章，我們研究上述只含營養(yǎng)物不含抑制物的multi—layer

4、型腫瘤生長模型完全非穩(wěn)態(tài)情形的自由邊界問題，對于完全非穩(wěn)態(tài)即c≠0的情形，同樣地，我們利用泛函分析的方法，首先把原自由邊界問題轉(zhuǎn)化為固定區(qū)域上的初邊值問題，再轉(zhuǎn)化為Banach空間上的微分方程，利用抽象空間中的拋物型微分方程理論得到我們所要的結(jié)果.和第二章不同的是，那里化簡所得到的方程是只含邊界函數(shù)ρ一個未知函數(shù)的單個方程，而對這里的完全非穩(wěn)態(tài)情形，最后化簡所得到的是同時含有邊界函數(shù)ρ和營養(yǎng)物濃度σ兩個未知函數(shù)的微分方程組.該問題的線性

5、化問題的譜的計算更加復雜.為了克服這個困難，我們應(yīng)用了文獻[42]所使用的相似化方法，證明了如果c足夠小，存在，γ*，使得γ>γ*時，該問題的唯一的扁平穩(wěn)態(tài)解是漸近穩(wěn)定的. 第四章，我們研究在營養(yǎng)物和抑制物共同作用下的multi—layer腫瘤模型擬穩(wěn)態(tài)情形的自由邊界問題的適定性和解的漸近性態(tài).該問題包含定義在R2中無界區(qū)域上的三個橢圓方程.方程所定義的區(qū)域是由一條固定邊界和一個自由邊界所圍成的無界區(qū)域.類似于第二章的討論，我們

6、把原問題轉(zhuǎn)化為Banach空間中的微分方程，通過計算線性化算子的譜并應(yīng)用抽象的微分方程理論，證明了該問題的適定性并研究了解的漸近行為，把第二章的結(jié)果推廣到具有抑制物作用的multi—layer腫瘤模型. 第五章，我們研究在營養(yǎng)物和抑制物共同作用下的multi—layer腫瘤模型完全非穩(wěn)態(tài)情形的自由邊界問題的適定性和解的漸近性態(tài).該問題為第四章研究的問題所對應(yīng)的完全非穩(wěn)態(tài)形式.采用與第三章類似的方法，我們建立了該問題的適定性，并證