非局部理論下納米結(jié)構(gòu)動力行為的辛方法.pdf

1、隨著我國材料科學(xué)的發(fā)展，具有良好的光、電、磁、熱、機械等物理化學(xué)特性的碳納米材料已經(jīng)廣泛應(yīng)用于微納米機電結(jié)構(gòu)的制造中，如碳納米管，石墨烯等。該類納觀尺度材料與宏觀材料相比，具有更好的動力學(xué)性能，如高自振頻率、高屈曲臨界荷載等。然而，由于尺度效應(yīng)的影響，傳統(tǒng)的宏觀結(jié)構(gòu)分析方法無法正確分析碳納米材料的動力特性，現(xiàn)有的實驗和計算方法受到各方面的限制無法計算復(fù)雜的或規(guī)模較大的結(jié)構(gòu)。因此，研究碳納米材料的動力學(xué)行為具有重要的理論和實際意義。本博士

2、論文針對納機電系統(tǒng)中的兩類重要元器件（納米梁、納米板）的振動行為展開研究，基于傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、非局部理論和哈密頓力學(xué)辛方法提出一種求解碳納米材料或結(jié)構(gòu)自由振動頻率和模態(tài)的解析方法。
　　研究工作首先以傳統(tǒng)彈性理論和非局部理論相結(jié)合的方式，將碳納米架構(gòu)為包含尺寸效應(yīng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型。其次，通過引入基本位移變量的對偶變量，將問題從傳統(tǒng)拉格朗日求解體系轉(zhuǎn)換到全新的哈密頓求解體系，并獲得哈密頓正則方程（控制方程）以及相應(yīng)的邊界條件。最

3、后，利用分離變量法求解控制方程，將原問題歸結(jié)為辛空間中的本征問題，獲得解析的頻率方程以及計算具體的振動頻率。研究工作發(fā)現(xiàn)，在哈密頓體系下，自由振動頻率和模態(tài)可以通過辛本征值和本征解表示，并且具有明確的物理意義。具體研究內(nèi)容如下:
　　(1)采用歐拉—伯努利納米梁理論，得到了常見邊界條件下納米梁自由振動問題的頻率方程。在該問題的研究中，本文選擇以位移和轉(zhuǎn)角為原變量，彎矩和非局部等效剪力為對偶變數(shù)，將納米梁自由振動的高階微分控制方程轉(zhuǎn)

4、化成低階的哈密頓正則方程，并根據(jù)哈密頓矩陣的特點，采用分離變量法得到哈密頓矩陣的本征值和本征向量，最終得到滿足邊界條件的頻率方程。研究發(fā)現(xiàn)，隨著非局部參數(shù)的增加，納米梁的自由振動頻率會減小，這表明非局部效應(yīng)對材料的整體剛度矩陣有軟化作用。納米梁自由振動的頻率與邊界條件、非局部參數(shù)等均有關(guān)系，并且隨著長度的增加，非局部效應(yīng)對納米梁基頻的影響減小。對于不同邊界條件時的固有頻率，兩端固支時最高，固支—自由時最低。
　　(2)采用Kirc

5、hhoff板理論，討論了Levy型各向同性納米板、正交各向異性納米板和圓形/環(huán)形納米板的自由振動問題的辛方法。在這些問題的研究中，本文均構(gòu)建了自由振動時的非局部拉格朗日函數(shù)，利用辛幾何方法，得到了原變量和對偶變量描述的正則方程，將自由振動問題歸結(jié)為哈密頓體系下的辛本征問題?；谛翈缀蔚姆蛛x變數(shù)法，得到了Levy型矩形納米板自由振動的解析解，并給出了不同邊界條件下固有頻率方程。
　　對于各向同性納米板和正交各向異性納米板，本文給出了

6、不同邊界條件（固支、簡支、自由和滑支）時固有頻率隨非局部參數(shù)、長寬比變化時的前六階無量綱頻率。研究表明，在相同條件下固支—固支時頻率最高，自由—自由時頻率最低，這表明固有頻率受邊界條件影響。同時，隨著非局部參數(shù)的增加，固有頻率下降越來越快，尤其是高階模態(tài)時。以正交各向異性納米板模型，根據(jù)已有文獻(xiàn)資料，討論了單層方形石墨烯的固有頻率隨厚度、長度和非局部參數(shù)的變化。為了詳盡地研究圓形/環(huán)形納米板自由振動問題，本文討論了不同邊界條件和內(nèi)外徑之

7、比、非局部參數(shù)等對其固有頻率的影響。數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)，非局部參數(shù)和邊界條件相關(guān)，并且對于內(nèi)外徑之比為0.8且非局部參數(shù)大于1nm的圓環(huán)形納米板結(jié)構(gòu)，在某些邊界條件時環(huán)向階數(shù)n小于一定值時不會出現(xiàn)模態(tài)，僅存在環(huán)形階數(shù)較高的振動模態(tài)。本文給出了該情況時環(huán)形納米板的前八階模態(tài)。
　　(3)建立矩形雙納米板系統(tǒng)和圓形雙納米板系統(tǒng)振動的哈密頓體系，得到了問題的頻率方程。在研究雙納米板系統(tǒng)振動問題時，本文將其振動形式分成同步振動、異步振動和一板固

8、定三種情況，針對不同情況建立不同的哈密頓體系，得到了Levy型納米板系統(tǒng)振動問題的解析解。對于圓形雙納米板的自由振動，采用類似的方法，通過原變量和對偶變量組成的哈密頓正則方程，得到原問題的頻率方程。計算表明，在相同情況下，異步振動的頻率最高，同步振動最低。并且非局部參數(shù)參數(shù)對基頻影響較小，對高頻影響很大。
　　上述的研究結(jié)果表明，辛方法是一種有效解決納米結(jié)構(gòu)動力行為的方法，且精度高，計算方便，效率高。該方法具有很強的通用性，適合精