群表示論下Johnson方案的Terwilliger代數(shù).pdf

1、代數(shù)組合論是組合數(shù)學(xué)一個(gè)重要分支.結(jié)合方案是代數(shù)組合論的核心概念之一，由Bose和Shimamoto引入.1973年，Delsarte對(duì)結(jié)合方案重新進(jìn)行闡釋，將其作為編碼理論和設(shè)計(jì)理論的底空間.自從Bannai和Ito的專著“Algebraic Combinatorics I:Association scheme”出版后，結(jié)合方案的發(fā)展更為迅速.在此書中，結(jié)合方案被稱為“沒有群的群論”或“組合對(duì)象的表示理論”.實(shí)際上，這一領(lǐng)域與其他眾多

2、分支聯(lián)系緊密，相互促進(jìn)，如編碼、設(shè)計(jì)、圖論、李代數(shù)、有限群、量子群等.
　　結(jié)合方案具有較為一般的結(jié)構(gòu)，我們認(rèn)為其中最重要的是(P&Q)-多項(xiàng)式結(jié)合方案（又稱帶有Q-性質(zhì)的距離正則圖）.這種方案不僅本身有趣，而且作為編碼和設(shè)計(jì)理論的底空間也是比較重要的.我們期望對(duì)(P&Q)-多項(xiàng)式結(jié)合方案進(jìn)行分類.Terwilliger對(duì)分類工作做出了巨大的貢獻(xiàn).他在開篇系列論文中引入了“次成分代數(shù)”，現(xiàn)在稱其為Terwilliger代數(shù)，并且對(duì)

3、于“薄”的情形建立了Terwilliger代數(shù)的表示理論，也即Leonard系統(tǒng)理論.這是對(duì)Bannai和Ito的專著中Leonard定理的重新闡釋，可以使我們從代數(shù)的角度分析“薄的”(P&Q)-多項(xiàng)式結(jié)合方案的局部結(jié)構(gòu).
　　Johnson方案是已知的具有“薄的”結(jié)構(gòu)的(P&Q)-多項(xiàng)式結(jié)合方案.設(shè)T=T(x0)是Johnson方案J(N，D)(2D≤N)的Terwilliger代數(shù)，其中x0是Ter-williger代數(shù)的基本

4、點(diǎn).出現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)模分解中的每個(gè)不可約T-模W產(chǎn)生了一個(gè)Leonard系統(tǒng)LS(W).Leonard系統(tǒng)LS(W)的同構(gòu)類決定了W作為T-模的同構(gòu)類.Terwilliger在論文中未加證明地聲稱:當(dāng)d≥1時(shí)，(1)Leonard系統(tǒng)LS(W)的同構(gòu)類由三元組(ν，μ，d)決定，其中ν為端點(diǎn)，μ為對(duì)偶端點(diǎn)，d為直徑.(2)三元組（ν，μ，d）滿足
　　0≤D-d/2≤ν≤μ≤D-d≤D，(1)
　　d∈{D-2ν，min{D-μ，

5、N-D-2ν}}.(2)
　　在本文中，我們利用有序?qū)Γé?，β）表示（ν，μ，d），即N≠2D時(shí)，我們建立了三元組（ν，μ，d）和有序?qū)Γé粒拢┲g的雙射，其中非負(fù)整數(shù)α，β滿足
　　0≤α≤D/2，(3)
　　0≤β≤min{D,N-D/2｝，(4)
　　0≤α+β≤D.(5)
　　我們考慮Johnson方案J(N，D)自同構(gòu)群在基本點(diǎn)x0的穩(wěn)定化子H的作用，從群表示論的角度解釋兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)α，β的意義

6、.我們證明了Terwilliger關(guān)于J(N，D)的斷言是完整的，即Leonard系統(tǒng)LS(W)的同構(gòu)類與三元組(ν，μ，d)之間是雙射，這里允許d=0，也即不可約T-模W與三元組（ν，μ，d）之間是雙射.
　　本文結(jié)構(gòu)安排如下:
　　第一章，介紹(P&Q)-多項(xiàng)式結(jié)合方案的歷史溯源及研究意義，Terwilliger代數(shù)的產(chǎn)生以及發(fā)展現(xiàn)狀.
　　第二章，介紹一些預(yù)備知識(shí)，包括結(jié)合方案、Bose-Mesner代數(shù)、Ter

7、williger代數(shù)、P-多項(xiàng)式結(jié)合方案、Q-多項(xiàng)式結(jié)合方案、Leonard系統(tǒng)的基本概念和基本性質(zhì).
　　第三章，利用群表示論的方法研究一個(gè)典型的(P&Q)-多項(xiàng)式結(jié)合方案:Johnson方案，給出其Terwilliger代數(shù)的具體刻畫過程.首先討論J(N，D)的自同構(gòu)群的點(diǎn)穩(wěn)定化子H的作用;其次，在同構(gòu)的意義下，不可約S-模一一對(duì)應(yīng)于不可約H-模，這里S=HomH(V,V)，從而給出S-模的結(jié)構(gòu)，并參數(shù)化為（α，β).根據(jù)兩個(gè)