半格頂點代數(shù)的表示與TKK代數(shù)的分次自同構(gòu)群.pdf

1、頂點代數(shù)是二十世紀末發(fā)展起來的一類新的數(shù)學研究對象，它與仿射Kac—Moody代數(shù)的表示理論以及物理中的共形場理論有緊密的聯(lián)系([Bol，MS])． 格頂點代數(shù)是最重要、最基本的頂點代數(shù)之一． S．Berman、C．Dong和S．Tan研究了與 toroidal李代數(shù)的表示理論有關(guān)的所謂“半格”頂點代數(shù)([BDT])．設(shè)L是—個偶格，VL是相應(yīng)于L的格頂點代數(shù)．作為向量空間，VL是對稱代數(shù)S(H()ct—1C[t—1])和群代數(shù)

2、C[L]的張量積，其中H=C()zL．[BDT]中考慮的格L由ci，di(i=1，…，v)張成，并有一個Z—值雙線性型(·，·)使得：(ci，cj)=(di，dj)=0，(ci，dj)=δi，j· S．Berman、 C．Dong和S．Tan將半格頂點代數(shù)定義為 V：=S(H()ct—1C[t—1])()cC[LC]， 其中LC=∑vi=1Zci．半格頂點代數(shù)V是格頂點代數(shù)VL的一個頂點子代數(shù)。 S．Berm

3、an、C．Dong和S．Tan定義了一個結(jié)合代數(shù)AA由eα和di生成，滿足生成關(guān)系： eO=1， eα+β=eαeβ，dieα—eαdi=(di，α)eα，didj=djdi， 其中α，β∈LC，1≤ i，j≤v．更重要的是，他們證明了結(jié)合代數(shù)A的(不可約)表示與半格頂點代數(shù)V的(不可約)表示之間有一個一一對應(yīng)．他們可以由A的一個(不可約)表示構(gòu)造出V的一個(不可約)表示，也可以由V的一個(不可約)表示得到A的一個(不

4、可約)表示．這就意味著，為結(jié)合代數(shù)A尋找更多表示的工作是很有意義的． 在本論文的第一章，我們首先定義了一個結(jié)合代數(shù)AQ．設(shè)Q=(qij)是一個元素都是非零復(fù)數(shù)的v×v復(fù)矩陣，并且滿足條件： qii=1，qij=q—1ji，(1≤i，j≤v)．結(jié)合代數(shù) AQ由eα，di生成，滿足生成關(guān)系：eO=1， eαeβ=(∏1≤i＜j≤v qmjniji)eα+β，dieα—eαdi=(di，α)eα，didj=djdi，其中α=

5、∑vi=1mici，β=∑vi=1nici∈LC，1≤i，j≤v．當Q的所有元素都為1時，結(jié)合代數(shù)AQ就是[BDT]中定義的結(jié)合代數(shù)A．接下來，我們構(gòu)造了兩類不可約AQ—模： V(a1…，av—1，b)和V(a)．另外，我們也研究了這兩類模的自同構(gòu)群． A1型擴張仿射李代數(shù)的分類依賴于從歐氏空間中的半格構(gòu)造的TKK代數(shù)．從歐氏空間的一個半格S出發(fā)，可以定義一個Jordan代數(shù)J(S)，然后利用所謂的Tits—Kantor—Ko

6、echer構(gòu)造法可以得到一個TKK代數(shù)，進而得到一個A1型的擴張仿射李代數(shù)．BAllison、NAzam和S．Berman等人證明了，歐氏空間Rv中半格的相似等價類與nullity為v的A1型擴張仿射根系的同構(gòu)等價類一一對應(yīng)([AABGP])．在歐氏空間R2中，只有兩個不相似的半格S和S’，其中S是格而S’是非格半格．Jordan代數(shù)J(S)和J(S’)都有一個自然的Z2—分次．這個分次自然地誘導出TKK代數(shù)G(J(S))和BabyTK